Доказать, что для объема произвольного тетраэдра V справедлива формула \(V = \frac{1}{6}abd sin\phi\), где а и b — два противоположных ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, \(\phi\) — угол между ними.

Рассмотрим параллелепипед, образованный плоскостями, проходящими через ребра тетраэдра параллельно противоположным ребрам. (Этот способ достраивания тетраэдра до параллелепипеда часто применяется.) Объем тетраэдра составляет 1/3 объема параллелепипеда (плоскости граней тетраэдра отсекают от параллелепипеда 4 треугольные пирамиды, объем каждой из которых составляет 1/6 объема параллелепипеда), а объем параллелепипеда легко выражается через данные величины, поскольку диагонали его граней равны и параллельны (или просто совпадают) соответствующим ребрам тетраэдра. В свою очередь высота параллелепипеда равна расстоянию между соответствующими ребрами тетраэдра.