Пусть ABCD - данная пирамида, боковые ребра которой | DA | = а, | DB | = x, | DC | = у; по условию, эти ребра перпендикулярны и х + у = а. Нетрудно найти, что

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2(x^2+y^2)+x^2y^2}, \;\;\; V_{ABCD}=\frac{1}{6}axy $$

С другой стороны, если R - радиус искомого шара, то

$$ V_{ABCD}=\frac{R}{3}(S_{DAB}+S_{DBC}+S_{DCA}-S_{ABC}) =\\=\frac{R}{6}[ax+ay+xy-\sqrt{a^2(x^2+y^2)+x^2y^2}] =\\= \frac{R}{6}(a^2+xy-\sqrt{a^4-2xya^2+x^2y^2})=\frac{R}{3}xy $$

Приравнивая два выражения для V_ABCD, найдем R = a/2.