Из условия следует, что вершина S проектируется или в центр окружности, вписанной в \(\Delta АВС\), или в центр вневписанной в него окружности. (Вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон треугольника.)

Ответ: если \(\frac{a}{\sqrt3} \lt b \leq a\), то \(V = \frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}\);

если \(а < b \leq a\sqrt3\), возможны два ответа:

$$ V_1=\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}, \;\;\; V_2=\frac{a^2\sqrt3}{12}\sqrt{b^2-a^2} $$

если \(b \gt a\sqrt3\), возможны три ответа:

$$ V_1=\frac{a^2}{12}\sqrt{3b^2-a^2}, \;\;\; V_2=\frac{a^2\sqrt3}{12}\sqrt{b^2-a^2} \\ V_3=\frac{a^2\sqrt3}{12}\sqrt{b^2-3a^2} $$