Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен √3, а боковые ребра пирамиды равны 6.

$$ V=\frac{1}{3}S\cdot H $$
  1. радиус вписанной в правильный треугольник окружности в 2 раза меньше радиуса описанной около этого треугольника окружности, т.е. R = 2r, тогда R = 2√3.
  2. найдем сторону основания правильной пирамиды по формуле a = R√3, a = 2√3 · √3 = 6
  3. найдем площадь основания, как площадь правильного треугольника \(S=\frac{a^2\sqrt3}{4}, S=\frac{36\sqrt3}{4}\)
  4. из прямоугольного треугольника AOM по теореме Пифагора находим высоту пирамиды: \(H = \sqrt{AM^2 - AO^2}, H=\sqrt{6^2 - (2\sqrt3)^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt6 \),
  5. вычислим объём пирамиды:
$$ V=\frac{1}{3}S\cdot H, \;\; V=\frac{1}{3}\frac{36\sqrt3}{4}\cdot 2\sqrt6 = 18\sqrt2 $$




Похожие примеры:
Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной вокруг основания окружности равен √3, а высота пирамиды равна 4√3. Смотреть решение→
Вычислите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если радиус описанной около основания окружности равен √3, а высота пирамиды равна 1 Смотреть решение→
Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна 3√3. Смотреть решение→