Синус суммы двух углов
Полученные формулы для cos (α ± β) используем теперь при выводе соответствующих формул для sin (α ± β).
Для этого придется воспользоваться формулами приведения.
Представим sin (α + β) в виде:
sin (α + β) = cos[π/2 (α + β)].
После этого заметим, что
π/2 (α + β) =(π/2 - α ) - β.
Следовательно,
sin (α + β) = cos[( π/2 - α) - β] = cos( π/2 - α) cos β + sin ( π/2 - α ) sin β =
= sin α • cos β + sin β • cos α.
Итак,
sin (α + β) = sin α • cos β + sin β • cos α (1)
Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса второго угла на косинус первого.
Например,
sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° • cos 45° + sin45°.cos60° =
$$ = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} $$Формула (1) представляет собой тождество, то есть равенство, справедливое при любых значениях α и β. В частности, оно должно быть верным, если β заменить на -β. В результате такой замены мы получим:
sin (α - β) = sin α • cos (-β) + sin (-β) • cos α = sin α • cos β - sin β • cos α.
Итак,
sin (α - β) = sin α • cos β - sin β • cos α. (2)
Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса второго угла на косинус первого.
Например,
sin 15° = sin (45°-30°) = sin 45° • cos 30° - sin 30° • cos 45° =
$$ =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} $$