Как решать тригонометрические уравнения. Примеры

Уравнение называется тригонометрическим, если содержит неизвестное под знаком тригонометрической функции; таковы, например, уравнения:

2sin²x + 3cos x = 0; sin 5x = sin 4x; tg (α+ x) = m tg x

(в первом уравнении неизвестное служит аргументом, во втором - входит в состав аргумента, в третьем - то и другое).

От тригонометрических уравнений следует отличать тригонометрические тождества: так называются те равенства, которые справедливы при всех значениях аргумента. Например, в равенстве sin²x + cos² х = 1 первая часть всегда равна второй: оно есть тождество, а равенство sin²x - cos² х = 1 верно только для некоторых значений аргумента¹⁾; оно есть уравнение.

¹⁾Например, при x = 45° первая часть не равна второй.

Решить тригонометрическое уравнение - значит определить те углы, которые удовлетворяют ему, т. е. делают обе его части равными (эти углы называются корнями уравнения). Для решения надо сначала определить какую-нибудь функцию неизвестного угла, а по ней определим аргумент (обычно с помощью таблиц). Но мы знаем, что данному значению функции соответствует бесконечный ряд углов, таким образом, тригонометрическое уравнение (если оно разрешимо) имеет бесконечное число корней; обыкновенно находят их общий вид. Пусть, например, решая какое-нибудь тригонометрическое уравнение, мы получили tg 3x = 1. Этому значению тангенса соответствует аргумент такого состава: 45° + 180° • n, где n - произвольное целое число; следовательно, 3x = 45° + 180° • n, откуда определяем х; деля обе части равенства на 3, получим: x = 15° + 60° • n; это и будет общий вид корней данного уравнения.

(Примером неразрешимого уравнения может служить 5sin х = 7; из него sinх = ⁷/₅, а это невозможно, так как абсолютная величина синуса должна быть не более единицы.)

Что касается самих приемов решения, то чаще выгодно приводить уравнение к одной функции, преимущественно к синусу или косинусу, и к одному аргументу; тогда, приняв эту функцию за особое неизвестное, решаем уравнение как алгебраическое и отбрасываем те корни, которые не могут служить значением определяемой функции. Иногда бывает также выгодно сводить вопрос к обращению в нуль произведения или дроби. Все сказанное поясним на примерах.

Примеры

I. 2 sin²x= 3 sin x.

Решение. Приведя уравнение к виду sin x (2 sin x - 3) = 0, получим:

sin x = 0; 2sin x - 3 = 0, откуда sin x = ³/₂ .

Второе значение sin x невозможно (так как превышает единицу), а первому значению соответствует х = 180° • n (или х = πn).

II. 2 sin² х + 3 cos х = 0.

Решение. Заменяя sin² х через 1- cos² х, получим:

2 • (1 - cos² х) + 3 cos x = 0

и затем

cos² х - ³/₂ cos х -1= 0,

откуда

cos x = ³/₂ ± \( \sqrt{\frac{9}{16}+1} \); cos x₁ = 2 и cos x₂ = - ¹/₂.

Первое значение для cos x невозможно, а взяв cos x = - ¹/₂, получим:

x = 360°• n ± 120° (или x = 2πn ± ^2π/₃).

III. ctg (270° - x) = 3 ctg x.

Решение. Заменяя ctg (270° - х) и ctg х соответственно через tg х и ¹/_{tg х}, будем иметь tg х = ³/_{tg х} , откуда tg x = ± √3 .

Оба полученные значения для tg x пригодны: если tg x₁ = √3 , то x₁ = 60° + 180° • n; если tg x₂ = - √3 , то x₂ = - 60° + 180° • n. Таким образом, вообще:

x =180° • n ± 60°, или х = πn ± ^π/₃.

IV. tg (α + х) = т tg х, где α и m предполагаются известными.

Решение. Разложив tg (α + х), находим последовательно:

$$ \frac{tg\alpha + tg x}{1 - tg\alpha tg x} = m tg x; \\ tg\alpha + tg x = m tg x - m tg\alpha tg^2 x; \\
m tg\alpha \cdot tg^2 x - (m-1)tg x + tg\alpha = 0; \\ tg x = \frac{m-1+\sqrt{(m-1)^2 - 4mtg^2\alpha}}{2m tg\alpha} $$

V. sin x - cos x = \(\sqrt{\frac{1}{2}}\)

Решение. Здесь выгодно заменить первую часть произведением:

sin x - sin (90° - x) = \(\sqrt{\frac{1}{2}}\) ; 2 cos 45°• sin (x- 45°) = \(\sqrt{\frac{1}{2}}\);

√2 sin (x- 45°) = \(\sqrt{\frac{1}{2}}\); sin (x - 45°) = ¹/₂.

Отсюда:

x- 45° = 30°+ 360°• n и 150° + 360°• n,

а следовательно, x =75°+ 360°• n и 195° + 360°• n или x = ⁵/₁₂ π + 2πn и ¹³/₁₂ π + 2πn.

VI. sin² x - 2sin x • cos x = 3cos² x.

Решение. Разделив обе части на cos² x, получим:

tg² x -2 tg x = 3,

откуда tg x = - 1 и 3; соответственно этим значениям tg x найдем:

x₁ = 135°+180° • n или x₁= - 45° + 180° • m и x₂ = 71°33’ + 180° • n.

VII. sin 5x = sin 4x.

Решение. sin 5x - sin 4x = 0; 2 sin ^x/₂ • cos ^9x/₂ = 0; далeе: sin ^x/₂ = 0,

откуда ^x/₂ = 180°• n и, следовательно, x =360°• n,

cos ^9x/₂ = 0, откуда ^9x/₂ = 90° + 180° • n и, следовательно, x = 20° + 40°• n.

Итак,

x = 360°• n ; 20° + 40°• n.

VIII. a • sin x = b • cos^{2 x}/₂.

Решение.

a • 2sin ^x/₂ cos ^x/₂ = b • cos^{2 x}/₂; cos ^x/₂ (2a • sin ^x/₂ - b • cos ^x/₂) = 0,

отсюда:

1) cos ^x/₂= 0; 2) 2a • sin ^x/₂ - b • cos ^x/₂ = 0, откуда tg ^x/₂ = ^b/_2a .

IX. tg 5x = tg2x.

Решение. Приведя уравнение к виду tg 5x - tg 2x = 0 и применяя §67, получим:

$$ \frac{sin(5x-2x)}{cos5x \cdot cos2x} = 0 $$

это дает sin 3x = 0, откуда 3x = 180°• n и, следовательно, x =60°• n.

X. a • sin x + b • cos x = c.

Решение. 1-й способ. Так как sin x и cos x выражаются друг через друга иррационально, то, сначала уединив a • sin x (или b • cos x), возводим обе части в квадрат и тогда заменяем уже sin² x (или cos² x).

2-й способ. Воспользуемся тем, что sin α и cos α выражаются рационально через

tg ^α/₂, а именно:

$$ sin\alpha = \frac{2tg\frac{\alpha}{2}}{1+tg^2\frac{\alpha}{2}} \;\;и\;\; cos\alpha = \frac{{1-tg^2\frac{\alpha}{2}}}{{1+tg^2\frac{\alpha}{2}}} $$

¹⁾ Взяв sin α = 2 sin ^α/₂ • cos ^α/₂ и cos α = cos ^α/₂ - sin ^α/₂, делим вторые части на

cos^{2 α}/₂ + sin^{2 α}/₂ (что равно 1), а затем числителя и знаменателя делим на coscos^{2 α}/₂.

Если сделать такую замену, в нашем уравнении, то получим уравнение квадратное относительно tg ^x/₂, из которого и найдем:

$$ tg\frac{x}{2}=\frac{\alpha\pm\sqrt{a^2 + b^2 - c^2}}{b-c} $$

Отсюда, между прочим, видно, что условие возможности задачи есть: a² + b² > c

Если для функции искомого угла получается выражение буквенное, как, например, в данном случае, то оно и считается окончательным ответом; необходимо только исследовать, при каких значениях входящих в ответ букв полученное для тригонометрической функции значение возможно.

3-й способ. При сложных числах предыдущий способ затруднителен, и тогда решают данное уравнение посредством вспомогательного угла следующим образом:

разделив обе части уравнения на b и полагая ^a/_b = tg φ, будем иметь:

tg φ • sin х + cos x = ^c/_b ;

умножая теперь обе части на cos φ, получим:

cos (х - φ) = ^c/_b cos φ.