Формулы приведения в тригонометрии
Теорема. Для любого угла φ
sin (90° - φ) = cosφ (1)
Доказательство. Если угол φ оканчивается в 1-й четверти, то угол 90° + φ должен оканчиваться во 2-й четверти. Используя единичный круг, получаем:
sin (90° + φ) = BD, cos φ = ОС.
Но треугольники ОАС и BOD равны; поэтому BD = ОС. Отсюда и вытекает равенство (1).
Если угол φ оканчивается во 2-й четверти, то угол 90° +φ должен оканчиваться в 3-й четверти. Используя единичный круг, получаем:
sin (90°+φ) = - BD, cos φ= -ОС.
Треугольники ОАС и BOD равны; поэтому BD = ОС. Следовательно, -BD = -ОС, или sin (90° +φ) = cos φ.
Аналогично можно рассмотреть случаи, когда угол φ оканчивается в 3-й или в 4-й четверти. Тождество (1) легко проверить и в случае, когда конечная сторона угла φ лежит на какой-нибудь оси координат.
Из доказанного тождества (1) вытекает ряд других важных тождеств. Заменив в (1) φ на - φ, получаем:
sin (90° - φ) = cos (-φ) = cos φ. (2)
Чтобы получить аналогичную формулу для cos (90° - φ), заменим в (2) φ на 90° - φ. В результате получаем:
или sin [90° - (90° - φ)] = cos (90° - φ),
Итак, sin φ= cos (90° - φ).
cos (90° - φ) = sin φ. (3)
Из (2) и (3) вытекает:
\( tg(90^o-\varphi)=\frac{sin(90^o-\varphi)}{cos(90^o-\varphi)}=\frac{cos\varphi}{sin\varphi}=ctg\varphi \)
tg (90° - φ) = ctg φ. . (4)
Аналогично, \( ctg(90^o-\varphi)=\frac{cos(90^o-\varphi)}{sin(90^o-\varphi)}=\frac{sin\varphi}{cos\varphi}=tg\varphi \)
Формулы
sin (90° - φ) = cos φ, tg (90° - φ) == ctg φ,
cos (90° - φ) = sin φ, ctg (90° - φ) = tg φ.
иногда называют формулами дополнительного угла. Это связано с тем, что углы 90° - φ и φ дополняют друг друга до прямого угла. Эти формулы очень просто запомнить: одна функция заменяется на другую, сходную с ней (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс).
Например, sin 40° = cos 50°; tg 70° = ctg 20° и т. д.
Теперь получим формулы для угла 90° + φ. Одну из таких формул мы уже доказали выше:
sin (90° +φ) = cos φ.
Остальные формулы легко получаются из формул дополнительного угла и свойства четности (нечетности) тригонометрических функций. Имеем:
cos (90° + φ) = cos [90° - (- φ)] = sin (- φ) = -sin φ;
tg (90° + φ) = tg [90°- (- φ)] = ctg(- φ) = -ctg φ;
ctg (90° + φ) =ctg [90° -(- φ)] = tg (- φ) = - tg φ.
Исходя из этих формул, можно получить формулы для углов 180° ± φ. Например,
sin (180° + φ) = sin [90° + (90°+ φ)] = cos (90° + φ) = -sin φ;
sin (180° - φ) = sin [90° + (90° - φ)] = cos (90° - φ) = sin φ.
Аналогично доказываются формулы
cos (180° + φ) = - cos φ; cos (180° - φ) = - cos φ.
Чтобы получить соответствующие формулы для тангенса и котангенса, можно воспользоваться выведенными соотношениями
для синуса и косинуса, учитывая, что tg φ= sin φ/cos φ, ctg φ= cos φ/sin φ.
Однако в данном случае лучше всего исходить из того, что угол 180° является периодом функций tg φи ctg φ. Отсюда сразу же получаем:
tg (180° + φ) = tg φ,
tg (180° - φ) == tg (-φ) = - tg φ,
ctg (180° + φ) = ctg φ,
ctg (180° -φ) = ctg (- φ) =- ctg φ.
Из формул для углов 180° ± φможно получить аналогичные формулы для углов 270° ± φ.
Формулы для углов 360° ± φ легко получаются, если учесть, что угол 360° является общим периодом тригонометрических функций.
|
Функция Угол |
sin х |
cos x |
tg x |
ctg x |
|
φ |
sin φ |
cos φ |
tg φ |
ctg φ |
|
90° - φ (π /2- φ) |
cos φ |
sin φ |
ctg φ |
tg φ |
|
90° + φ(π /2 + φ) |
cos φ |
-sin φ |
-ctg φ |
-tg φ |
|
180° - φ (π - φ) |
sin φ |
-cos φ |
-tg φ |
-ctg φ |
|
180° + φ(π + φ) |
-sin φ |
-cos φ |
tg φ |
ctg φ |
|
270° - φ (π - φ) |
-cos φ |
-sin φ |
ctg φ |
tg φ |
|
270° + φ(π + φ) |
-cos φ |
sin φ |
-ctg φ |
-tg φ |
|
360° - φ(2π - φ) |
-sin φ |
cos φ |
-tg φ |
-ctg φ |
|
360° + φ(2π + φ) |
sin φ |
cos φ |
tg φ |
ctg φ |
Чтобы не заучивать эти формулы, достаточно помнить:
1) если в формуле содержатся углы 180° и 360° (π и 2π), то наименование функции не изменяется;
если же в формуле содержатся углы 90° и 270° (π/2и 3π/2), то наименование функции меняется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
2) чтобы определить знак в правой части формулы (+ или-), достаточно, считая угол φ острым, определить знак выражения, стоящего в левой части формулы.
Пусть, например, нужно определить tg (90° + φ). Прежде всего мы замечаем, что в формуле содержится угол 90°. Поэтому в правой части искомой формулы должен стоять ctg φ.
Чтобы определить знак перед ctg φ, предположим, что угол φ острый. Тогда угол 90° + φ должен оканчиваться во 2-й четверти. Но тангенс угла, оканчивающегося во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому передctg φ нужно взять знак -.
Итак,
tg (90° + φ) = -ctg φ.
Аналогично устанавливается формула
cos (180° - φ) = - cos φ.
Поскольку в формуле содержится угол в 180°, наименование функции не изменяется. Если угол φ острый, то угол 180°-φ должен оканчиваться во 2-й четверти. Но косинус угла, оканчивающегося во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому в правой части формулы должен стоять знак -.
Полученные выше формулы носят название формул приведения.