Решение косоугольных треугольников

Решение треугольника по двум его углам и стороне

Задача. Даны два угла треугольника и сторона, прилежащая к ним; вычислить другие стороны и угол.

Даны В, С и а; требуется найти b, с и А.

Решение. Условие возможности построения треугольника по этим данным:

А + В < 180° - будем считать выполненным.
Можно считать известными все три угла, так как А = 180° - (В + С).

Для вычисления сторон b и с достаточно применить теорему синусов:

$$ \frac{b}{sinB}=\frac{a}{sinA}; \; \frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA} \Rightarrow \\ b=\frac{a sinB}{sinA}; \; c=\frac{a sinC}{sinA}; $$

Площадь вычисляется по формуле: $ S=\frac{a^2 sinB sinC}{2 sinA} $

Пример. Решить треугольник по следующим данным а ≈ 17,4, В ≈ 44°30’, С ≈ 64°.

Решение при помощи натуральных таблиц. Находим угол:

А = 180° - (В + С) ≈ 180° - (44°30’ + 64°) ≈ 71°30’.

Вычисляем стороны. Имеем:

sin В ≈ 0,7009; sin С ≈ 0,8988, sin А ≈ 0,9483

и т.д.

Деление на sin А можно заменить умножением на обратное число. По таблицам Брадиса найдем:

¹/_0,9483≈ 1,055.

Вычисления выполнены по правилам приближённых вычислений. Значения синусов взяты из таблиц Брадиса; во всех промежуточных результатах сохраняются четыре значащие цифры (правило запасной цифры), а окончательный результат округлён до трёх значащих цифр.

Решение при помощи логарифмических таблиц. Имеем:

b = ^a^{sin B}/_{sin A}, lg b = lg a + lg sin В - lg sin A.

По таблицам найдем:

lg a = 1,2405, lg sinB = 1,8457, ld sin A = 1,9770, откуда lg b = 1,1092

По таблицам Брадиса найдём b = 12,86. Однако в ответе следует оставить три значащие цифры, так как значение а дано с тремя значащими цифрами; поэтому b ≈ 12,9.

Сторона с вычисляется аналогично:

c = ^a^{sin C}/_{sin A}, lg c = lg a + lg sin C - lg sin A.

..., lg c = 1,2172; c ≈ 16,5

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача. Даны две стороны треугольника и угол между ними; вычислить третью сторону и два других угла.

Пусть, например, даны а, b и С, требуется вычислить А, В и с.

Решение при помощи натуральных таблиц. Формула косинусов даёт выражение стороны с непосредственно через известные элементы:

$$ с = \sqrt{а^2 + b^2 - 2ab cosС} $$

Для вычисления А можно также воспользоваться формулой косинусов:

а² = b² + с² - 2bc cos А

Так как 0 < А < 180°, то

$$ A = arccos\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}; \;\; B = arccos\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ab} $$

(ясно, что достаточно найти лишь один из углов, третий же угол легко определить исходя из суммы углов треугольника).

Решение при помощи логарифмических таблиц.

Известна сумма углов A + В = 180° - С, откуда ^(A+C)/₂ = 90° - ^C/₂.

Разность углов A - В можно вычислить, воспользовавшись теоремой тангенсов:

$$ \frac{tg\frac{A-B}{2}}{tg\frac{A+B}{2}} = \frac{a-b}{a+b} \Rightarrow \\ tg\frac{A-B}{2} = \frac{a-b}{a+b}ctg\frac{C}{2} $$

Углы А и В определяются из системы уравнений:

$$ \frac{A+B}{2} = 90°-\frac{C}{2}; \;\; \frac{A-B}{2} = arctg(\frac{a-b}{a+b}ctg\frac{C}{2}) $$

Сторону с можно вычислить по теореме синусов:

c = ^a^{sin C}/_{sin A}

Пример. Дано: а ≈ 49,4; b ≈ 26,4; С ≈ 47°20’ найти А, В и с.

Решение при помощи натуральных таблиц. Имеем:

с² = а² + b² - 2ab cos С ≈ 49,4² + 26,4² - 2 • 49,4 • 26,4 • cos 47°20’

По таблицам квадратов найдём:

а² ≈ (49,4)² ≈ 2449; b² ≈ (26,4)² ≈ 697,0

и далее

2 • 49,4 • 26,4 • cos 47°20’ ≈ 2 • 49,4 • 2,64 • 0,6778 ≈ 1768.

Следовательно, с² ≈ 2440 + 697 - 1768 ≈ 1369. По таблицам квадратных корней

с ≈ 37,0. Далее

$$ cosA\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx \frac{697+1369-2440}{2\cdot 26,4 \cdot 37,0} \\\approx \frac{374}{1954} \approx -0,191 $$

А ≈ arc cos (-0,191); угол А - тупой.

Находим дополнительный угол

180° - А ≈ arc cos (0,091) ≈ 79°; А ≈ 180° - 79° = 101°

(с округлением до 10’). Наконец,

$$ cosB = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ab} \approx \frac{2440+1369-697}{2\cdot 49,4\cdot 37,0} \approx 0,8513 $$
B = 31°40’

Решение при помощи логарифмических таблиц. Вычислим углы A и В.

$$ lg tg\frac{A-B}{2}=lg(a-b) + lg ctg\frac{C}{2} - lg(a+b) $$
$$ lg tg\frac{A-B}{2}=1,8403 \;\;и\;\; \frac{A-B}{2}\approx 34°40’ $$

Из системы уравнений

$$ \frac{A-B}{2} = 34°40’ \;\; \frac{A+B}{2} = 66°20’ $$

найдём: A ≈ 101°, В ≈ 31°40’.

Решение треугольника по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них

Задача. Даны две стороны треугольника и угол А, лежащей против одной из них; вычислить третью сторону и два остальных угла.

Пусть даны a, b и А; требуется вычислить B, С и с

Решение.

С л у ч а й 1. а > b, т. е, заданный угол А лежит против большей стороны.

Построение показано на чертеже. Из точки С (как из центра), взятой на одной из сторон угла А на расстоянии b от вершины, описана окружность радиуса а; точка В есть точка пересечения этой окружности с другой стороной угла А.
Построение всегда возможно, задача имеет единственное решение.

Острый угол В, противолежащий меньшей стороне, находится по теореме синусов:

$$ sinB = \frac{b}{a}sinA $$

откуда $ B=arcsin(\frac{b}{a}sinA) $

и затем С = 180° - (A + В). Сторона с находится по теореме синусов: $ c=\frac{a sinC}{sinA} $

С л у ч а й 2. а < b, т. e. угол A лежит против меньшей стороны; поэтому он не может быть тупым или прямым.
Следовательно, при А > 90° задача не имеет решения.
Пусть угол А острый. Из построения на чертеже a), видно, что окружность радиуса а с центром в точке С пересечёт другую сторону угла А в двух точках при условии а > CD, где D - основание перпендикуляра, опущенного из точки С на другую сторону угла A. Так как CD = b sinA (из треугольника ACD), то условие запишется так: a >b sinA.

Для угла В возможны два значения: В = В₁ (острый) и В = В₂ (тупой). Задача имеет два решения.

a) Значения угла В вычисляются по теореме синусов: $ sinB = \frac{b}{a}sinA $

откуда $ B_1 = arcsin(\frac{b}{a}sinA) $ и B₂ = 180° - B₁Значения угла С и стороны с вычисляются так же, как в предыдущем случае.

Из чертежа видно, что при CD = b sinА > а окружность не пересечёт другой стороны угла А; задача не имеет решений.

В этом случае $ sinB=\frac{b sinA}{a} > 1 $ и угол В вычислить нельзя.

При CD = b sin А задача имеет единственное решение: треугольник ABC прямоугольный.

Случай 3. а = b. В этом случае треугольник ABC равнобедренный. Такой треугольник можно решить, разбразбив его высотой CD на два прямоугольных треугольника:

В = А; С = 180° - 2А; с = 2AD = 2а cos A.

Пример. Вычислить стороны и углы треугольника, если дано:

а ≈ 73,5; b ≈ 86,4; A ≈ 49°0’.

Решение:

$$ sinB=\frac{b sinA}{a} \approx \frac{86,4 \cdot 0,7547}{73,5} \approx 0,887 $$

(деление на 73,5 можно заменить умножением на ¹/_73,5≈ 0,0136).

Так как в данном случае а < b и ^b^{sin A}/_a < 1, то задача имеет два решения:

1) В₁ ≈ arc sin 0,887 = 62°30’ C₁ ≈ 180° - (49° + 62°30’) = 68°30’

(с округлением до 10’);

$$ c_1 = \frac{a sinC_1}{sinA} \approx \frac{73,5 \cdot 0,9304}{0,755} \approx 90,6 $$
$$ 2) B_2 = 180° - B_1 \approx 117°30’ \\ C_2 \approx 180° - (49° + 117°30’) = 13°30’ $$
$$ c_2 = \frac{a sinC_2}{sinA} \approx 22,7 $$

Решение треугольника по трем сторонам

Задача. Даны три стороны треугольника; вычислить его углы.

Пусть даны длины трёх сторон треугольника. Обозначим через а меньшую сторону, через b - среднюю, а через с - большую: а < b < с.

По трём данным сторонам можно построить единственный треугольник, если большая сторона меньше суммы двух других сторон: с < а + b. Если же с > а + b, то треугольник с данными сторонами не существует. Будем считать, что с < а + b.

Решение при помощи натуральных таблиц.

Углы треугольника можно вычислить по теореме косинусов: а² =b² + с² - 2bc cos А
b² =c² + a² - 2ca cos B, откуда

$$ cosA=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $$
и
$$ A = arccos\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
(так как 0° < А < 180°).

Аналогично найдём: $ B=arccos\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} $ и, наконец, С = 180° - (А + В).

Решение при помощи логарифмических таблиц. Вычислим сначала площадь треугольника (формула Герона):

$ S = \sqrt{р (р - а)(р - b)(р - с)}$, где р = (а + b + c)/2

Имеем далее: S = ¹/₂ bc sin A. откуда $ sinA=\frac{2S}{bc} $

Угол А острый, так как он лежит против меньшей стороны; следовательно,

$$ A = arcsin\frac{2S}{bc} $$

Точно также $ B = arcsin\frac{2S}{ac} $ и, наконец, С = 180° - (А + В)

Итак, при решении треугольника по трём сторонам при помощи логарифмических таблиц углы, лежащие против меньших сторон, находятся по формулам, а угол, лежащий против наибольшей стороны, вычисляется как разность между 180° и суммой двух найденных углов.

Пример. Решить треугольник, зная длины (приближенные) его сторон: 24,7; 22,4 и 31,3. Обозначим a ≈ 22,4; b ≈ 24,7; с ≈ 31,3.

Решение при помощи натуральных таблиц. Имеем:

$$ cosA \approx \frac{(24,7)^2 + (31,3)^2 - (22,4)^2}{2 \cdot 22,4 \cdot 31.3} \approx 0,7038 $$

откуда А ≈ 45°20’ (с округлением до 10’).

$$ cosB \approx \frac{(22,4)^2 + (31,3)^2 - (24,7)^2}{2 \cdot 22,4 \cdot 31.3} \approx 0,6215 $$

откуда В ≈ 51°30’ и, наконец, С ≈ 180° - (45°20’ + 51°30’) ≈ 83°10’.

Решение при помощи логарифмических таблиц. Имеем:

sin А = ^2S/_bc, lg sin А = lg 2S - lg b - lg c.

Вычисляем: