Разность и сумма тангенсов двух углов

При решении некоторых задач бывают полезны следующие формулы:

$$ tgx + tgy = \frac{sin(x+y)}{cosx cosy} $$
$$ tgx - tgy = \frac{sin(x-y)}{cosx cosy} $$

Сумма тангенсов двух углов равна отношению синуса суммы этих углов к произведению косинусов тех же углов.

Разность тангенсов двух углов равна отношению синуса разности этих углов к произведению косинусов тех же углов.

Докажем, например, формулу (1). Имеем:

$$ tgx + tgy = \frac{sinx}{cosx} + \frac{siny}{cosy} = \frac{sinx\cdot cosy + cosx\cdot siny}{cosx\cdot cosy} $$

но sin x • cos y + cos x • sin y = sin (x + y), поэтому

$$ tgx + tgy = \frac{sin(x+y)}{cosx cosy} $$

тем самым формула (1) доказана. Аналогично доказывается и формула (2).

Пример. Доказать, что тангенсы углов α =/= ^π/₂ + nπ и β =/= ^π/₂ + nπ равны тогда и только тогда, когда эти углы разнятся на угол, кратный π.

Пусть α и β разнятся на угол, кратный π; тогда α = β + nπ, где n - некоторое целое число. Но в таком случае

tg α = tg (β + nπ) = tg β.

И наоборот, пусть tg α = tg β. Тогда tg α - tg β = 0 и по формуле (2)

$$ \frac{sin(\alpha - \beta)}{cos\alpha cos\beta} = 0 $$

Но это возможно лишь при условии, что sin (α - β) = 0. Как известно, синус обращается в нуль лишь для углов, кратных π. Поэтому

α - β = nπ,

α = β + nπ,

что и требовалось доказать.