Однородные тригонометрические уравнения

Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:

sin х - cos х = 0,
sin² х - 5 sin х cos х + 6 cos² х = 0,
cos² х - sin х cos х = 0.

Это такие уравнения, все члены которых имеют одну и ту же общую степень относительно sin x и cos x. Например, все члены первого уравнения имеют общую степень 1, а все члены других двух уравнений - общую степень 2.

Решим уравнение sin х - cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin² х +cos² х = 1. Итак, в данном случае
cos х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на
cos² х. В результате получим tg x - 1 = 0, откуда

tg x = 1, х = ^π/₄ + 2nπ

Аналогично решается и уравнение sin² х - 5 sin х cos х + 6 cos² х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos² х, получим:

tg² х - 5 tg х + 6 = 0; (tg x)₁ = 2; (tg x)₂ = 3.

Поэтому

x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ.

Теперь решим уравнение cos² х - sin х cos х = 0.

Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на
cos² х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin² х +cos² х = 1. Итак, sin х =/=
0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin² х. В результате получим: