Формулы для решения тригонометрических уравнений

Формулы, используемые при решении тригонометрических задач и примеров

Тригонометрические функции сумм и разностей двух углов:

$$ sin(x+y)=sinx cosy + cosx siny \\ sin(x-y)=sinx cosy - cosx siny \\ cos(x+y)=cosx cosy - sinx siny \\ cos(x-y)=cosx cosy + sinx siny $$

Двойные и тройные углы:

$$ sin2x=2sinx cosx \\ cos2x=cos^2x-sin^2x \\ sin3x=3sinx-4sin^3x \\ cos3x=4cos^3x-3cosx $$

Сумма и разность тригонометрических функций:

$$ sinx+siny=2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2} \\ sinx-siny=2cos\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2} \\
cosx+cosy=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2} \\ cosx-cosy=2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{y-x}{2} $$

Произведение тригонометрических функций:

$$ sinx siny=\frac{1}{2}[cos(x-y)-cos(x+y)] \\ cosx cosy=\frac{1}{2}[cos(x-y)+cos(x+y)] \\ sinx cosy=\frac{1}{2}[sin(x-y)+sin(x+y)] \\ sin^2x=\frac{1-cos2x}{2} \\ cos^2x=\frac{1+cos2x}{2} $$

Выражаем sin x, cos x, tg x через \(tg\frac{x}{2}\):

$$ sinx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} \\ cosx=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} \\
tgx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^2\frac{x}{2}} $$

Обратные тригонометрические функции

Главные значения обратных тригонометрических функций:

$$ y=arcsin x, если x=sin y и -\frac{\pi}{2}\leq y \leq\frac{\pi}{2} \\ y=arccos x, если x=cos y и 0\leq y\leq \pi \\ y=arctg x, если x=tg y и -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \\ y=arcctg x, если x=ctg y и 0 < y < \pi $$

Многозначные обратные тригонометрические функции:

$$ Arcsin x = (-1)^n arcsin x+\pi n, n=0, \pm1, \pm2, ... \\ Arccos x=\pm arccos x +2\pi n \\ Arctg x = arctg x + \pi n \\ Arcctg x = arcctg x + \pi n $$

Эти формулы определяют общий вид углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции.