Синус суммы двух углов

Полученные формулы для cos (α ± β) используем теперь при выводе соответствующих формул для sin (α ± β).

Для этого придется воспользоваться формулами приведения.

Представим sin (α + β) в виде:

sin (α + β) = cos[π/2 (α + β)].

После этого заметим, что

π/2 (α + β) =(π/2 - α ) - β.

Следовательно,

sin (α + β) = cos[( π/2 - α) - β] = cos( π/2 - α) cos β + sin ( π/2 - α ) sin β =

= sin α • cos β + sin β • cos α.

Итак,

sin (α + β) = sin α • cos β + sin β • cos α (1)

Синус суммы двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго плюс произведение синуса второго угла на косинус первого.

Например,

sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° • cos 45° + sin45°.cos60° =

$$ = \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} $$

Формула (1) представляет собой тождество, то есть равенство, справедливое при любых значениях α и β. В частности, оно должно быть верным, если β заменить на . В результате такой замены мы получим:

sin (α - β) = sin α • cos (-β) + sin (-β) • cos α = sin α • cos β - sin β • cos α.

Итак,

sin (α - β) = sin α • cos β - sin β • cos α. (2)

Синус разности двух углов равен произведению синуса первого угла на косинус второго минус произведение синуса второго угла на косинус первого.

Например,

sin 15° = sin (45°-30°) = sin 45° • cos 30° - sin 30° • cos 45° =

$$ =\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4} $$

Другие материалы по теме: Тригонометрия

  • Формулы приведения в тригонометрии
  • Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Значения тригонометрических функций основных углов
  • Теорема синусов. Теорема косинусов
  • Теорема тангенсов
  • Решение косоугольных треугольников
  • Как решать тригонометрические уравнения. Примеры
  • Однородные тригонометрические уравнения
  • Косинус суммы двух углов
  • Решение тригонометрических уравнений графически
  • Метод введения вспомогательного угла
  • Разность и сумма тангенсов двух углов
  • Формулы для решения тригонометрических уравнений