Свойства медиан треугольника

Теорема. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Пусть в треугольнике АBС (черт. 256) АD и ВЕ - медианы, пересекающиеся в точке О. Докажем, что и отрезок NС, проходящий через третью вершину этого треугольника и точку О, будет также медианой, т. е. AN = NВ.

Для доказательства через точку Е проведём ЕF || АD, тогда СF = FD. Разделим отрезок ВD пополам; пусть DК = КВ. Получим n1 =n2 = n3 = n4, как половины равных отрезков СD и ВD.

Через точку K проведём KS || АD; тогда m1 =m2 = m3, так как KS || ОD || ЕF и
n4 =n3 = n2 .

Через точки Sи Е проведём SP || ОN и EQ || ОN, тогда l4 =l3 = l2, так как SР || ОN || ЕQ и m3 =m2 = m1. Кроме того, l2 = l1, так как AE = ЕС и ЕQ || СN.

Отсюда l4 =l3 = l2 = l1, но l4 +l3 = NВ, а l2+ l1 = NA.

Следовательно, AN = NВ, т. е. NС является так же медианой треугольника AВС.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Кроме того, мы видим (черт. 256), что отрезок ОЕ составляет 1/3ВЕ. Аналогично можно доказать, что отрезок ON составляет 1/3 СN и отрезок ОD составляет 1/3 АD. Таким образом, точка пересечения медиан в треугольнике отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.



Другие материалы по теме: Треугольник

  • Элементы треугольника
  • Средняя линия треугольника
  • Площадь треугольника
  • Свойства равнобедренного треугольника
  • Свойство внешнего угла треугольника.
  • Равенство прямоугольных треугольников
  • Сумма внутренних углов треугольника
  • Теорема Пифагора
  • Три признака подобия треугольников
  • Определение подобных треугольников
  • Вписанные и описанные окружности: треугольник
  • Построение треугольников. Признаки равенства треугольников.
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Решение прямоугольного треугольника