Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол.

Пусть в ΔАВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (рис.).

Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С.

Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.

Угол ВDС - внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.

Так как ∠ВСD = ∠ВDС, то и угол ВСD больше угла А: ∠ВСD > ∠A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A.

Докажем теперь обратные теоремы.



Теорема 2. Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.

Пусть в Δ AВС ∠A = ∠С (рис.). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный.

Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений:

1) АВ > ВС;

2) АВ < ВС;

3) АВ = ВС.

Если бы сторона AВ была больше ВС, то угол С был бы больше угла A, но это противоречит условию теоремы, следовательно, АВ не может быть больше ВС.

Точно так же АВ не может быть меньше ВС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла A.

Следовательно, возможен только третий случай, т. е.

АВ = ВС

Итaк, мы доказали: против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.



Теорема 3. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Пусть в треугольнике АВС (рис.) ∠ C >∠ B

Докажем, что АВ > АС.

Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений:

1) АВ = АС;

2) АВ < АС;

3) АВ > АС.

Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то ∠ С был бы равен ∠ В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС

Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию.

Следовательно, возможен только один случай, а именно:

АВ > АС.

Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона.

Следствие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из его катетов.



Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. Обозначим его стороны через а, b и с.

По определению тригонометрических функций:

a/c = sin ∠А; a/c = cos ∠В; b/c= sin ∠ В; b/c = cos ∠А.

Отсюда а = с sin ∠ А = с cos ∠В; b = c sin ∠B = с соs ∠A,

т. е. катет прямоугольного треугольника равен гипотенузе, умноженной на синус угла, противолежащего этому катету, или на косинус угла, прилежащего к нему.

Из того же прямоугольного треугольника имеем, что

a/b = tg ∠А , отсюда a = b tg ∠А;

b/a = ctg ∠А, откуда b = a ctg ∠А,

т.е. катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс угла, противолежащего первому катету, или на котангенс угла, прилежащего к первому катету.



Другие материалы по теме: Треугольник

  • Элементы треугольника
  • Средняя линия треугольника
  • Площадь треугольника
  • Свойства равнобедренного треугольника
  • Свойство внешнего угла треугольника.
  • Равенство прямоугольных треугольников
  • Сумма внутренних углов треугольника
  • Теорема Пифагора
  • Три признака подобия треугольников
  • Определение подобных треугольников
  • Вписанные и описанные окружности: треугольник
  • Построение треугольников. Признаки равенства треугольников.
  • Свойства медиан треугольника
  • Решение прямоугольного треугольника