Соотношения между сторонами и углами треугольника

Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол.

Пусть в ΔАВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (рис.).

Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С.

Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике.

Угол ВDС - внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А.

Так как ∠ВСD = ∠ВDС, то и угол ВСD больше угла А: ∠ВСD > ∠A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A.

Докажем теперь обратные теоремы.



Теорема 2. Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.

Пусть в Δ AВС ∠A = ∠С (рис.). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный.

Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений:

1) АВ > ВС;

2) АВ < ВС;

3) АВ = ВС.

Если бы сторона AВ была больше ВС, то угол С был бы больше угла A, но это противоречит условию теоремы, следовательно, АВ не может быть больше ВС.

Точно так же АВ не может быть меньше ВС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла A.

Следовательно, возможен только третий случай, т. е.

АВ = ВС

Итaк, мы доказали: против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны.



Теорема 3. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Пусть в треугольнике АВС (рис.) ∠ C >∠ B

Докажем, что АВ > АС.

Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений:

1) АВ = АС;

2) АВ < АС;

3) АВ > АС.

Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то ∠ С был бы равен ∠ В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС

Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию.

Следовательно, возможен только один случай, а именно:

АВ > АС.

Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона.

Следствие. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из его катетов.