Определение подобных треугольников

Рассмотрим два прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30° (рис. 364).

Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза:

\(\frac{AB}{A’B’}\) = 2; \(\frac{AC}{A’C’}\) = 2; \(\frac{BC}{B’C’}\) = 2.

У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны:

\(\frac{AB}{A’B’}\) = \(\frac{AC}{A’C’} = \frac{BC}{B’C’}\) = 2.

Такие треугольники называют подобными. Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными.

Таким образом, подобными называются треугольники, у которых yглы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.


Подобие треугольников записывается так: \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)А’В’С’.

Отношение сходственных сторон подобных фигур называется коэффициентом подобия. В данном случае коэффициентом подобия треугольников АBС и А’В’С’ будет число 2.

Если же взять отношения A’B’/AB = A’C’/AC = B’C’/BC , то коэффициент подобия будет равен 1/2.



Свойство прямой, параллельной какой-либо стороне треугольника.

Проведём в треугольнике АBС прямую DЕ параллельно стороне АС (рис. 365).

Получим треугольник DВЕ. Докажем, что \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)DВЕ.

Вследствие параллельности сторон DЕ и АС ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
Угол В является общим для этих треугольников. Следовательно, углы этих треугольников попарно равны.

Так как DЕ || АС, то \(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE}\).

Проведём через точку Е прямую, параллельную стороне AB (рис. 366).

Получим: \(\frac{BC}{BE} = \frac{AC}{AK}\), но АК = DЕ.

Поэтому

\(\frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\)

Сопоставляя полученную пропорцию с пропорцией \(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE}\) получим:

\(\frac{AB}{DB} = \frac{BC}{BE} = \frac{AC}{DE}\), т.е.

сходственные стороны треугольников AВС и DВЕ пропорциональны.
Раньше было доказано, что углы этих треугольников попарно равны.

Значит, \(\Delta\)ABС \(\sim\) \(\Delta\)DВЕ.

Следовательно, прямая, проведённая параллельно какой-либо стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.



Отношение площадей двух подобных треугольников

Пусть \(\triangle AВС \sim \triangle A’В’С’\)(черт. 380). Из подобия треугольников следует, что

∠A = ∠A’, ∠B = ∠B’ и ∠С = ∠С’. Кроме того, AB/A’B’ = BC/B’C’ = AC/A’C’.

В этих треугольниках из вершин В и В’ проведём высоты и обозначим их через h и h’. Площадь первого треугольника будет равна AC•h/2, а площадь второго треугольника A’C’•h’/2.

Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго - через S’ получим: S/S’ = AC•h/A’C’•h’ или S/S’ = AC/A’C’ h/h’

Из подобия треугольников АВО и А’В’О’ (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно ∠A = ∠A’) следует:

h
/h’ = AB/A’B’ . Но AB/A’B’= AC/A’C’ . Следовательно, h/h’ = AC/A’C’. Заменив в формуле S/S’ = AC/A’C’ h/h’ отношение h/h’ равным ему отношением AC/A’C’ , получим:

S/S’ = AC/A’C’ AC/A’C’ , или
$$ \frac{S}{S’} = \frac{(AC)^2}{(A’C’)^2} $$

Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: S/S’ = (AC/A’C’)2.

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.



Построение подобных треугольников

Мы уже знаем, что для построения треугольника, подобного данному, достаточно из какой-нибудь точки, взятой на стороне треугольника, провести прямую, параллельную стороне треугольника. Получим треугольник, подобный данному (черт. 382):

$$ \triangle AСВ \sim \triangle A’С’B’ $$

Другие материалы по теме: Треугольник

  • Элементы треугольника
  • Средняя линия треугольника
  • Площадь треугольника
  • Свойства равнобедренного треугольника
  • Свойство внешнего угла треугольника.
  • Равенство прямоугольных треугольников
  • Сумма внутренних углов треугольника
  • Теорема Пифагора
  • Три признака подобия треугольников
  • Вписанные и описанные окружности: треугольник
  • Построение треугольников. Признаки равенства треугольников.
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Свойства медиан треугольника
  • Решение прямоугольного треугольника