Свойства равнобедренного треугольника

Построим равнобедренный треугольник ABC и проведём в нём биссектрису угла, заключённого между равными сторонами AB и CB. Равнобедренный треугольник разбился на два треугольника ABD и CBD.

Перегнём мысленно плоскость чертежа по биссектрисе BD так, чтобы правая часть её совпала с левой. Тогда сторона BC пойдёт по стороне BA, так как ∠1 = ∠2, и точка С совпадёт с точкой А, так как BC = BA.

Следовательно, при перегибании чертежа по BD треугольник BDC совместился с треугольником BDA, т. е. биссектриса BD является осью симметрии треугольника ABC.

Отрезки CD и DA совместились, т. е. сторона АС в точке D разделилась пополам.

Следовательно, BD будет не только биссектрисой треугольника ABC, но и его медианой.

Углы BDC и BDA совместились, следовательно, они равны. Но в то же время они смежные, поэтому каждый из них равен прямому углу. Значит, BD является высотой треугольника.

Углы С и А совместились, следовательно, они равны.

Отсюда:

1. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника является его осью симметрии.

2. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника в то же время является его медианой и высотой.

Так как из вершины треугольника можно провести только одну биссектрису, одну медиану и одну высоту, то медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является и биссектрисой, и высотой, точно так же и высота является и биссектрисой, и медианой.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны между собой.

4. В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны между собой.



Другие материалы по теме: Треугольник

  • Элементы треугольника
  • Средняя линия треугольника
  • Площадь треугольника
  • Свойство внешнего угла треугольника.
  • Равенство прямоугольных треугольников
  • Сумма внутренних углов треугольника
  • Теорема Пифагора
  • Три признака подобия треугольников
  • Определение подобных треугольников
  • Вписанные и описанные окружности: треугольник
  • Построение треугольников. Признаки равенства треугольников.
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Свойства медиан треугольника
  • Решение прямоугольного треугольника