Площадь треугольника

Пусть требуется определить площадь треугольника АВС. Проведём через вершины его С и В прямые, параллельные сторонам АВ и АС.

Определение площади треугольника АВС

Мы получим параллелограмм АВDС. Площадь его равна произведению основания АВ на высоту СО. Параллелограмм АВDС состоит из двух равных треугольников АВС и ВСD, следовательно, площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, т. е. S \(\Delta\)ABC = 1/2 АВ • СО.

Отсюда: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

S \(\Delta\) = \(\frac{a  •  h}{2}\)

Эту формулу можно представить в таком виде:

S \(\Delta\) = \(\frac{a}{2}\) • h, или S\(\Delta\) = a • \(\frac{h}{2}\).



Формулы для вычисления площади треугольника


1. Из геометрии известна формула Г е р о н а:

$$ S = \sqrt{р (р - а)(р - b) (р - с)},$$

(где р =(а + b + c)/2-полупериметр), позволяющая вычислять площадь треугольника по его сторонам.

2. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

S = 1/2bc sin A.

Доказательство. Из геометрии известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону из противоположной вершины.

S = 1/2b · hb (1)

Если угол А острый, то из треугольника АВН найдём ВН = hb = с sin A.

Если угол A тупой, то

ВН = hb = с sin (π - A)= с sin A.

Если угол A прямой, то sin A = 1 и
hb = АВ = с = с sin A.

Следовательно, во всех случаях hb = с sin A. Подставив в равенство (1), получим доказываемую формулу.



Точно так же получим формулы: S = 1/2ab sin C= 1/2ac sin B

3. На основании теоремы синусов:

$$ b = \frac{a sinB}{sinA}; \;\; c = \frac{a sinC}{sinA} $$

Подставив эти выражения в формулу (1), получим следующую формулу:

$$ S = \frac{a^2 sinB sinC}{2sinA} $$

Другие материалы по теме: Треугольник

  • Элементы треугольника
  • Средняя линия треугольника
  • Свойства равнобедренного треугольника
  • Свойство внешнего угла треугольника.
  • Равенство прямоугольных треугольников
  • Сумма внутренних углов треугольника
  • Теорема Пифагора
  • Три признака подобия треугольников
  • Определение подобных треугольников
  • Вписанные и описанные окружности: треугольник
  • Построение треугольников. Признаки равенства треугольников.
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Свойства медиан треугольника
  • Решение прямоугольного треугольника