Однородные тригонометрические уравнения

Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:

sin х - cos х = 0,
sin2 х - 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0,
cos2 х - sin х cos х = 0.

Это такие уравнения, все члены которых имеют одну и ту же общую степень относительно sin x и cos x. Например, все члены первого уравнения имеют общую степень 1, а все члены других двух уравнений - общую степень 2.

Решим уравнение sin х - cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin2 х +cos2 х = 1. Итак, в данном случае
cos х =/=
0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на
cos2 х. В результате получим tg x - 1 = 0, откуда

tg x = 1, х = π/4 + 2nπ

Аналогично решается и уравнение sin2 х - 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos2 х, получим:

tg2 х - 5 tg х + 6 = 0; (tg x)1 = 2; (tg x)2 = 3.

Поэтому

x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ.

Теперь решим уравнение cos2 х - sin х cos х = 0.

Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на
cos2 х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin2 х +cos2 х = 1. Итак, sin х =/=
0
. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin2 х. В результате получим:

ctg2 х - ctg х = 0,

откуда (ctg х)1 = 0; (ctg х)2 = 1. Соответственно этому получаются две группы корней:

х = π/2 + и х = π/4 +

Некоторые тригонометрические уравнения, не являясь однородными, легко сводятся к однородным.

Например, если в уравнении

sin х cos x = 0,5

представить 0,5 в виде 0,5 (sin2 х +cos2 х), то получится однородное уравнение
sin х cos x = 0,5 sin2 х + 0,5 cos2 х



Другие материалы по теме: Тригонометрия

  • Формулы приведения в тригонометрии
  • Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Значения тригонометрических функций основных углов
  • Теорема синусов. Теорема косинусов
  • Теорема тангенсов
  • Решение косоугольных треугольников
  • Как решать тригонометрические уравнения. Примеры
  • Косинус суммы двух углов
  • Синус суммы двух углов
  • Решение тригонометрических уравнений графически
  • Метод введения вспомогательного угла
  • Разность и сумма тангенсов двух углов
  • Формулы для решения тригонометрических уравнений