Значения тригонометрических функций основных углов

Найдём значения тригонометрических функций для углов в 30°, 45° и 60°.

1) Для угла в 30°

Возьмём прямоугольный треугольник с острым углом в 30°. Обозначим длину гипотенузы АВ через с и выразим длины катетов.

ВС = с/2, как катет, лежащий против угла в 30°.

Катет АС найдём по теореме Пифагора.

$$ AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{c^2 - \frac{c^2}{4}} = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt3}{2} $$

Тогда

sin30o = \( \frac{BC}{AB}=\frac{\frac{c}{2}}{c}=\frac{1}{2}=0,5 \)

tg30o = \( \frac{BC}{AC}=\frac{\frac{c}{2}}{\frac{c\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\approx 0,5774 \)

cos30o= \( \frac{AC}{AB}=\frac{\frac{c\sqrt3}{2}}{c}=\frac{\sqrt3}{2}\approx 0,8660 \)

2) Для угла в 45°.

Возьмём прямоугольный треугольник с острыми углами по 45°.

Обозначим длину гипотенузы AB через c и выразим длины катетов. АС = BC, следовательно, по теореме Пифагора
AB2 = 2BC2, откуда
$$ BC^2 = \frac{AB^2}{2} = \frac{2AB^2}{4} = \frac{2c^2}{4} $$

Значит, \(BC = \sqrt{\frac{2c^2}{4}} = \frac{c\sqrt2}{2}\), одновременно и \(AC = \frac{c\sqrt2}{2}\)

sin 45° = \( \frac{BC}{AB} = \frac{\frac{c\sqrt2}{2}}{c} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0,7071 \)

tg 45°= \( \frac{BC}{AC} = 1 \)

cos 45°= \( \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt2}{2} \approx 0,7071 \)

3) Для угла в 60°

Значения тригонометрических функций для угла в 60° можно найти из того же треугольника, из которого нашли значения тригонометрических функций для угла в 30°, так как если ∠A = 30°, то ∠В = 60°.

Тогда

sin 60° = \( \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0,8660 \)

tg 60° = \( \frac{AC}{BC} = \sqrt3 \approx 1,7321 \)

cos 60° = \( \frac{BC}{AB} = \frac{1}{2} = 0,5\)

Таблица значений тригонометрических функций для углов в 30°, 45° и 60°.

УГОЛ

СИНУС

КОСИНУС

ТАНГЕНС

30о

\( \frac{1}{2}=0,5 \)

\( \frac{\sqrt3}{2}\approx 0,8660 \)

\( \frac{\sqrt3}{3}\approx 0,5774 \)

45о

\( \frac{\sqrt2}{2}\approx 0,7071 \)

\( \frac{\sqrt2}{2}\approx 0,7071 \)

1

60о

\( \frac{\sqrt3}{2}\approx 0,8660 \)

\( \frac{1}{2}=0,5 \)

\( \sqrt3 \approx 1,7321 \)


Рассматривая эту таблицу, можно заметить, что синус и тангенс острого угла возрастают при увеличении угла, а косинус при увеличении угла убывает.
При уменьшении угла синус и тангенс убывают, а кoсинус возрастает.



Тригонометрические функции дополнительных углов

Дополнительными углами называются два угла, которые в сумме составляют 90°. Такими углами, в частности, являются острые углы прямоугольного треугольника.

Углы А и В в прямоугольном треугольнике ACB являются дополнительными углами, так как

∠A + ∠B = 90°; ∠A = 90° - ∠B; ∠В = 90° - ∠A

Рассмотрим соотношения между тригонометрическими функциями дополнительных углов.

1) \( sinA = \frac{a}{c}; cosB = \frac{a}{c} \), т. e. синус данного угла равен косинусу дополнительного угла.

2) \( cosA = \frac{b}{c}; sinB = \frac{b}{c} \), т.е. косинус данного угла равен синусу дополнительного угла.

3) \( tgA = \frac{a}{b}; ctgB = \frac{a}{b} \), т.е. тангенс данного угла равен котангенсу дополнительного угла.

4) \( ctgA = \frac{b}{a}; tgB = \frac{b}{a} \), т.e. котангенс данного угла равен тангенсу дополнительного угла.

Знание соотношений между тригонометрическими функциями дополнительных углов важно для понимания устройства тригонометрических таблиц.



Другие материалы по теме: Тригонометрия

  • Формулы приведения в тригонометрии
  • Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Теорема синусов. Теорема косинусов
  • Теорема тангенсов
  • Решение косоугольных треугольников
  • Как решать тригонометрические уравнения. Примеры
  • Однородные тригонометрические уравнения
  • Косинус суммы двух углов
  • Синус суммы двух углов
  • Решение тригонометрических уравнений графически
  • Метод введения вспомогательного угла
  • Разность и сумма тангенсов двух углов
  • Формулы для решения тригонометрических уравнений