Теория
Равные и неравные отрезки
Отрезки называются равными, если они могут быть наложены один на другой так, что концы их совпадут.
Пусть нам даны два отрезка АВ и СD (рис.). Наложим отрезок АВ на отрезок CD так, чтобы точка А совпала с точкой...
Читать далее →
Задачи
На большем катете, как на диаметре, описана полуокружность. Определить длину этой полуокружности, если меньший катет равен 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы с полуокружностью, равна 24 см. Смотреть решение →
Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других. Смотреть решение →
В правильной шестиугольной пирамиде через центр основания проведено сечение параллельно боковой грани. Найти отношение площади сечения к площади боковой грани. Смотреть решение →
Основанием пирамиды АВСЕН служит выпуклый четырехугольник АВСЕ, который диагональю BE делится на два равновеликих треугольника. Длина ребра АВ равна 1, длины ребер ВС и СЕ равны. Сумма длин ребер АН и ЕН равна \(\sqrt2\). Объем пирамиды равен 1/6. Найти радиус шара, имеющего наибольший объем среди всех шаров, помещающихся в пирамиде. Смотреть решение →
Доказать, что функция cos√x не является периодической (т. е. не существует такого постоянного числа Т =/= 0, чтобы при всех х было cos√x + T = cos√x ) Смотреть решение →
Прямая линия — касательная к боковой поверхности конуса — составляет с образующей, проходящей через точку касания, угол θ. Какой угол φ составляет эта прямая с плоскостью основания Р конуса, если образующие его наклонены к плоскости Р под углом α? Смотреть решение →
Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью, проходящей через вершину основания и середины двух боковых ребер. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания, если известно, что секущая плоскость перпендикулярна к боковой грани. Смотреть решение →
Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной b, и углом αмежду диагоналями. Каждое из боковых ребер образует с основанием угол β. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →
Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А1, а вершина В — в В1. Доказать, что в треугольнике OAB1 медиана стороны AB1 является высотой для \(\Delta\)OA1В (аналогично медиана стороны А1В в \(\Delta\)OA1В является высотой для \(\Delta\)OAB1).
Смотреть решение →
Ребро куба и ребро правильного тетраэдра лежат на одной прямой, середины противоположных им ребер куба и тетраэдра совпадают. Найти объем общей части куба и тетраэдра, если ребро куба равно a. Смотреть решение →