Множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки С, называется сферой радиуса R с центром в точке С (рис. 211). Другими словами, сфера радиуса R с центром в точке С - это множество всех точек М пространства,... Читать далее →

В правильной призме ABCA₁B₁C₁ длина бокового ребра и высота основания равна a. Через вершину А проведены две плоскости: одна перпендикулярно прямой АВ₁, вторая перпендикулярно прямой АС₁. Через вершину A₁ также проведены две плоскости: одна перпендикулярно прямой А₁В, вторая перпендикулярно прямой A₁C. Найти объем многогранника, ограниченного этими четырьмя плоскостями и плоскостью BB₁C₁C. Смотреть решение →

Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произведения отрезков основания. Выяснить смысл указанного равенства в случае равнобедренного треугольника. Смотреть решение →

В шар вписан правильный тетраэдр, затем в тетраэдр снова вписан шар. Найти отношение поверхностей двух шаров. Смотреть решение →

Боковая поверхность конуса равна S, а полная поверхность — Р. Определить угол между высотой и образующей. Смотреть решение →

Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами а и b (a > b). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α. Определить объем усеченной пирамиды и величину двугранных углов при сторонах оснований. Смотреть решение →

В основании пирамиды ромб со стороной а. Две соседние грани составляют с плоскостью основания угол α, третья боковая грань составляет с плоскостью основания угол β(доказать, что и четвертая боковая грань наклонена к основанию под тем же углом). Высота пирамиды Н. Найти объем пирамиды и полную поверхность ее. Смотреть решение →

В конус вписан шар. Поверхность шара относится к площади основания конуса как 4:3. Найти угол при вершине конуса.  Смотреть решение →

Внешняя касательная двух окружностей радиусов 5 см и 2 см в 1¹/₂ раза больше их внутренней касательной. Определить расстояние между центрами этих окружностей.  Смотреть решение →

Треугольник ABC вписан в окружность; через вершину А проведена касательная до пересечения с продолженной стороной ВС в точке D. Из вершин В и С опущены перпендикуляры на касательную, меньший из которых равен 6 см. Определить площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если ВС = 5 см, AD = 5√6см. Смотреть решение →

В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС со стороной a, ребро равно b. Найти объем пирамиды, если известно, что боковые грани пирамиды равновелики. Смотреть решение →