Теория
Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам.
Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (рис. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что
∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.
Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно...
Читать далее →
Задачи
Доказать, что если в треугольной пирамиде сумма длин любой пары противоположных ребер одна и та же, то вершины этой пирамиды являются центрами четырех шаров, попарно касающихся друг друга. Смотреть решение →
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = MD, СМ = МВ. Доказать, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности Смотреть решение →
Периметр ромба содержит 2р см, сумма диагоналей его т см. Найти площадь ромба. Смотреть решение →
В основании призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = AC и /
BAC = 2α). Вершина А1 верхнего основания проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около нижнего основания. Баковое ребро AA1образует со стороной основания АВ угол, равный 2α. Определить объем и боковую поверхность призмы. Смотреть решение →
Даны два шара О и О1 касающиеся извне, и описанный около них конус. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, основаниями которого служат окружности прикосновения шаров к поверхности конуса, если радиусы шаров равны R и R1 Смотреть решение →
Из вершины тупого угла ромба опущены перпендикуляры на его стороны. Длина каждого перпендикуляра равна а, расстояние между их основаниями равно b. Определить площадь ромба. Смотреть решение →
Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой. Смотреть решение →
Из точки окружности опущены перпендикуляры на стороны вписанного в нее треугольника. Доказать, что основания перпендикуляров лежат на одной прямой (прямая Симсона) Смотреть решение →
Через некоторую точку диагонали куба с ребром а перпендикулярно к этой диагонали проведена плоскость.
1) Выяснить, какая фигура получается в сечении этой плоскости с гранями куба.
2) Найти длины отрезков, получающихся в сечении плоскости с гранями куба, в зависимости от расстояния х секущей плоскости от центра симметрии куба О. Смотреть решение →
Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна а. Точки Р, К, L - середины ребер AA1, A1D1, В1С1 соответственно, точка Q - центр грани CC1D1D. Отрезок MN с концами на прямых AD и KL пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка. Смотреть решение →