Теория
1. Углы с соответственно параллельными сторонами.Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые (черт. 211),... Читать далее →


Задачи
  • Решить уравнение sin2 2х + sin2 x = 1 Смотреть решение →
  • В шар вписаны два одинаковых конуса, оси которых совпадают, а вершины находятся в противоположных концах диаметра шара. Найти отношение объема общей части этих двух конусов к объему шара, зная, что отношение высоты конуса h к радиусу шара R равно k. Смотреть решение →
  • Внутри равностороннего треугольника взята произвольная точка, из которой опущены перпендикуляры на все его стороны. Доказать, что сумма этих трех перпендикуляров равна высоте треугольника. Смотреть решение →
  • К окружности проведены две касательные. Доказать, что длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки окружности на хорду, соединяющую точки касания, есть среднее пропорциональное между длинами перпендикуляров, опущенных из той же точки на касательные.  Смотреть решение →
  • В кубе ABCDA1B1C1D1 на АС взята точка M, а на диагонали BD1 куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD1? Смотреть решение →
  • Три равных окружности пересекаются в одной точке. Вторая точка пересечения каких-либо двух из этих окружностей и центр третьей определяют проходящую через них прямую. Доказать, что получаемые три прямые пересекаются в одной точке. Смотреть решение →
  • В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длины ребер АВ, ВС и ВВ1 равны соответственно 2a, a и a, точка Е - середина ребра ВС. Вершины М и N правильного тетраэдра MNPQ лежат на прямой С1Е, вершины Р и Q - на прямой, проходящей через точку B1 и пересекающей прямую AD в точке F. Найти: а) длину отрезка DF; б) расстояние между серединами отрезков MN и PQ. Смотреть решение →
  • Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу. Смотреть решение →
  • Может ли быть правильным треугольник, расстояния вершин которого до двух данных взаимно перпендикулярных прямых выражаются целыми числами?  Смотреть решение →
  • Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон трапеции, пройдет через точку пересечения диагоналей. Смотреть решение →