Угол между двумя векторамиРассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве. Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление... Читать далее →

Рассматриваются два треугольника ABC и А₁В₁С₁, которые лежат в непараллельных плоскостях и имеют попарно непараллельные стороны. При этом прямые, соединяющие соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Доказать, что продолжения соответственных сторон треугольников попарно пересекаются и точки их пересечения лежат на одной прямой. Смотреть решение →

Разделить отрезок в данном отношении. Пусть требуется разделить отрезок АВ (рис.) на две части так, чтобы они относились, как 4 и 5. Смотреть решение →

В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара равно ^27√3 /_4π. Смотреть решение →

Ребро куба равно а; АВ — его диагональ. Найти радиус сферы, касающейся трех граней, сходящихся в вершине А, и касающейся трех ребер, выходящих из вершины В. Найти также часть поверхности этой сферы, которая лежит вне куба. Смотреть решение →

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, являющийся проекцией боковой грани, проходящей через катет. Угол, лежащий против этого катета в основании пирамиды, равен α, а лежащий в боковой грани равен β. Площадь этой боковой грани больше площади, основания на S. Определить разность между площадями двух других граней и углы, образованные боковыми гранями с плоскостью основания. Смотреть решение →

Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол α, а сторона основания равна b. Смотреть решение →

Сторона правильного треугольника равна а. Из центра его радиусом а/3 описана окружность. Определить площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности. Смотреть решение →

Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ψ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

При каких целых значениях n функция

cos nx sin ⁵/_n х

имеет период 3π *)?

*) Функция f (х) называется периодической, если существует число Т =/= 0 такое, что для всех допустимых значений х выполнено равенство f(x + T) = f (x). Число Т при этом называется периодом функции.

 Смотреть решение →

Внутри треугольника АВС взята точка М и построены параллелограммы АМВМ₁, ВМСВ₂, СМАМ₃. Доказать, что прямые АМ₂, ВМ₃, СМ₁ пересекаются в одной точке. Смотреть решение →