Теория
Теорема. Внешний угол всякого треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним. Дано: ∠BCD — внешний угол треугольника ABC. Надо доказать, что ∠BCD > ∠B и ∠BCD > ∠A. Доказательство. Для доказательства выполним в первую очередь построение, в результате которого внешний... Читать далее →


Задачи
  • Внутрь острого угла вписываются круги, касающиеся друг друга. Показать, что радиусы этих кругов образуют геометрическую прогрессию. Найти зависимость между знаменателем прогрессии и величиной острого угла. Смотреть решение →
  • Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Высота цилиндра равна 5, а радиус его основания R удовлетворяет уравнению \(R^2 + R – 6 = 0\). Найдите объём призмы.  Смотреть решение →
  • Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, если её ребра равны 5, а радиус окружности, описанной вокруг основания равен 3√2 . Смотреть решение →
  • Прямой параллелепипед, имеющий в основании ромб, со стороной а и острым углом α, пересечен плоскостью, проходящей через вершину угла α и дающей в сечении ромб с острым углом α/2, Определить площадь этого сечения. Смотреть решение →
  • Даны три плоских угла трехгранного угла SABC: ∠BSC= α; ∠CSA =β; ∠ASB = γ. Найти двугранные углы этого трехгранного угла. Смотреть решение →
  • Доказать, что сумма квадратов расстояний какой-нибудь точки окружности до вершин правильного вписанного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.  Смотреть решение →
  • Из точки вне круга проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Определить длину второй секущей. Смотреть решение →
  • В основании пирамиды ABCDE лежит параллелограмм ABCD. Ни одна из боковых граней не является тупоугольным треугольником. На ребре DC существует такая точка М, что прямая ЕМ перпендикулярна ВС. Кроме того, диагональ основания АС и боковые ребра ED и ЕВ связаны соотношениями: \(|AC|\geq\frac{5}{4}|ЕВ|\geq\frac{5}{3}|ED|\).
    Через вершину В и середину одного из боковых ребер проведено сечение, представляющее собой равнобочную трапецию. Найти отношение площади сечения и площади основания пирамиды. Смотреть решение →
  • В прямоугольном треугольнике ABC катет АС в 3 раза больше катета AB. Точками К и F катет АС разделен на три равные части. Доказать, что

    ∠АKB + ∠AFB + ∠ACB = π/2. Смотреть решение →

  • На отрезке прямой АВ взята точка С. По одну сторону АВ восставлены к ней перпендикуляры АА1 = ВС и ВВ1 = АС, а по другую СС1 = АВ. На стороне А1В1 треугольника А1В1С1 строится квадрат по ту же сторону от А1В1, что и вершина С1; аналогично строятся квадраты на сторонах В1С1 и С1А1. Доказать, что точки пересечения диагоналей каждого квадрата совпадают соответственно с точками С, А и В. Смотреть решение →