Рассмотрим некоторую плоскость р и точку М. Ортогональной проекцией точки М на плоскость р называется основание М0 перпендикуляра к плоскости р, проведенного через точку М (рис. 157). Плоскость р называют в этом случае плоскостью проекции. Существует единственный перпендикуляр к плоскости р,... Читать далее →

Доказать, что биссектрисы внутренних углов параллелограмма в пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого равны разности соседних сторон параллелограмма.  Смотреть решение →

Около круга радиуса г описана прямоугольная трапеция, наименьшая из сторон которой равна ^3r/₂. Определить площадь трапеции. Смотреть решение →

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды равно l, оно наклонено к плоскости основания под углом β. Диагональ пирамиды перпендикулярна к боковому ребру ее. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике с основанием а и боковой стороной b угол при вершине равен 20°. Доказать, что а³ + b ³ = 3аb².  Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит трапеция, в которой боковые стороны и меньшее основание равны между собой, большее основание равно а и тупой угол трапеции равен α. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол β. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →

Вершины А, В и С треугольника соединены с точками А₁, В₁, С₁, расположенными произвольно на противоположных сторонах (но не в вершинах). Доказать, что середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ не лежат на одной прямой.  Смотреть решение →

Все плоские углы трехгранного угла NKLM (N - вершина) прямые. На грани LNM взята точка Р на расстоянии 2 от вершины N и на расстоянии 1 от ребра MN. Из некоторой точки S, расположенной внутри трехгранного угла NKLM, в точку Р направлен луч света. Луч образует угол π/4 с плоскостью MNK и равные углы с ребрами KN и MN. Луч зеркально отражается от граней угла NKLM сначала в точке Р, затем - в точке Q, затем - в точке R. Найти сумму длин отрезков PQ и QR. Смотреть решение →

Основанием правильной пирамиды служит многоугольник, сумма внутренних углов которого 540°. Определить объем этой пирамиды, зная, что боковое ребро ее, равное l, наклонено к плоскости основания под углом α. Смотреть решение →

Ребро правильного тетраэдра равно a. Плоскость P проходит через вершину В и середины ребер АС и AD. Шар касается прямых AB, АС, AD и той части плоскости P, которая заключена внутри тетраэдра. Найти радиус шара. Смотреть решение →

Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Доказать, что их линия центров параллельна данной прямой. Смотреть решение →