Теорема 1. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм. Пусть в четырёхугольнике AВDС (рис. 227) АВ = СD и АС = ВD. Докажем, что при этом условии АВ || СD и АС || ВD, т. е. четырёхугольник... Читать далее →

От правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S. Найти полную поверхность призмы, если угол при вершине треугольника, получившегося в сечении, равен α. Смотреть решение →

Показать, что площадь любого треугольного сечения произвольной треугольной пирамиды не превосходит площади хотя бы одной из ее граней. Смотреть решение →

Доказать, что при соединении трех вершин правильного тетраэдра с серединой высоты, опущенной из четвертой вершины, получаются три попарно перпендикулярные прямые. Смотреть решение →

Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна √15. Смотреть решение →

В основании пирамиды лежит прямоугольник. Одна из боковых граней имеет вид равнобедренного треугольника и перпендикулярна к основанию; в другой грани, противоположной первой, боковые ребра, равные b, образуют между собой угол 2α и наклонены к первой грани под углом α. Определить объем пирамиды и угол между указанными двумя гранями. Смотреть решение →

Дан усеченный конус, боковая поверхность которого равна площади круга, имеющего своим радиусом образующую усеченного конуса. Доказать, что в данный конус можно вписать шар. Смотреть решение →

По объему V правильной n-угольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, определить угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания. Смотреть решение →

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной а и острым углом α. Ребро АА₁ равно b и образует с ребрами АВ и AD угол φ. Определить объем параллелепипеда. Смотреть решение →

Доказать, что если разделить хорду окружности на три равные части и соединить с центром окружности концы хорды и точки деления, то соответствующий центральный угол разделится на три части, одна из которых больше двух других. Смотреть решение →

Доказать, что квадрат биссектрисы, проведенной через вершину произвольного треугольника, равен произведению боковых сторон без произведения отрезков основания. Выяснить смысл указанного равенства в случае равнобедренного треугольника. Смотреть решение →