Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Описать окружность около треугольника — это значит построить такую окружность, которая проходила бы через его вершины, т. е. через три точки, не лежащие на одной прямой. При решении задачи: «Через три точки, не лежащие... Читать далее →

Доказать, что если сумма

а₁ cos (α₁ + х) + а₂ cos (α₂ + х) + ... + а_n cos (α_n + x)

при x = 0 и x = x₁ =/= kπ (k - целое) обращается в нуль, то она равна нулю при всяком х Смотреть решение →

В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что вершины его лежат на апофемах пирамиды. Найти отношение объема пирамиды к объему куба, зная, что угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью равен α. Смотреть решение →

В треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон лежит на наибольшей стороне треугольника. Доказать неравенство √2r < х < 2r , где х - длина стороны квадрата, r - радиус круга, вписанного в данный треугольник.  Смотреть решение →

Тупоугольный треугольник, острые углы которого α и β и меньшая высота равна h , вращается около стороны, противолежащей углу β. Найти поверхность тела вращения. Смотреть решение →

В правильной треугольной призме угол между диагональю боковой грани и другой боковой гранью равен α. Определить боковую поверхность призмы, зная, что ребро основания равно а. Смотреть решение →

Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с боковой гранью угол β= 90°— α. Плоскость, проведенная через эту диагональ и боковое ребро, пересекающееся с ней, образует с той же боковой гранью угол α(доказать, что α > 45°). Определить объем параллелепипеда. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а двугранный угол при основании равен α. Через две противоположные стороны основания пирамиды проведены две плоскости, пересекающиеся взаимно под прямым углом. Определить длину линии их пересечения, заключенную внутри пирамиды, если известно, что она пересекает ось пирамиды. Смотреть решение →

Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других. Смотреть решение →

Решить уравнение sin 2х = cos х sin 2x Смотреть решение →

Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма ABCD. Доказать, что площадь треугольника АОС равна сумме или разности площадей двух смежных треугольников, образованных двумя из прямых ОА, ОВ, ОС, OD и соответствующей стороной параллелограмма. Разобрать случаи, когда точка О находится внутри и вне параллелограмма.  Смотреть решение →