Преобразование выражения a sin х + b cos х путем введения вспомогательного угла Лемма. Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла. Другими словами, если а2 +... Читать далее →

Показать, что отрезки, соединяющие вершины некоторой треугольной пирамиды с центрами тяжести противолежащих граней, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 1:3. Смотреть решение →

Стороны деформирующегося многоугольника остаются соответственно параллельными заданным направлениям, в то время как все вершины, кроме одной, скользят по заданным прямым. Найти геометрическое место положений последней вершины. Смотреть решение →

В точке А, находящейся на расстоянии а от центра круглого биллиарда радиуса R, лежит упругий шарик, размерами которого можно пренебречь. В какую точку В борта нужно его направить, чтобы, дважды отразившись от борта, он снова вернулся в точку А?  Смотреть решение →

В правильной призме ABCA₁B₁C₁ длина бокового ребра и высота основания равна a. Через вершину А проведены две плоскости: одна перпендикулярно прямой АВ₁, вторая перпендикулярно прямой АС₁. Через вершину A₁ также проведены две плоскости: одна перпендикулярно прямой А₁В, вторая перпендикулярно прямой A₁C. Найти объем многогранника, ограниченного этими четырьмя плоскостями и плоскостью BB₁C₁C. Смотреть решение →

В правильном тетраэдре точки М и N являются серединами противоположных ребер. Проекция тетраэдра на плоскость, параллельную MN, представляет собой четырехугольник площади S, один из углов которого равен 60°. Найти площадь поверхности тетраэдра. Смотреть решение →

В треугольнике ABC AC=BC=15, AB=18. Найдите синус внешнего угла при вершине A. Смотреть решение →

Решить уравнение sin х + cos x = 1 Смотреть решение →

Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α. Через гипотенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Определить объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью. Смотреть решение →

Определить объем правильного восьмиугольника (октаэдра) с ребром а и двугранные углы при его ребрах. Смотреть решение →

Два шара касаются между собой и граней двугранного угла, величина которого α. Пусть А в В - две точки касания этих шаров с гранями (А и В принадлежат разным шарам и разным граням). В каком отношении отрезок АВ делится точками пересечения с поверхностями этих шаров? Смотреть решение →