Теорема. Отрезок,соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне треугольника и равен ее половине. Дано: в треугольнике АВС АМ = ВМ и СК = ВК. Надо доказать: 1) МК || АС; 2) МК = AC/2 . Доказательство. Продолжим МК на отрезок КЕ =... Читать далее →

В треугольнике ABC CD - медиана, угол C равен 90°, угол B равен 24°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах. Смотреть решение →

Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами а и b (a > b). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом α. Определить объем усеченной пирамиды и величину двугранных углов при сторонах оснований. Смотреть решение →

Даны две концентрические сферы радиусов r и R (R > r ). При каком соотношении между R и r можно внутри большей сферы построить правильный тетраэдр так, чтобы три вершины его основания лежали на большей сфере, а три боковые грани касались меньшей сферы?  Смотреть решение →

Четыре стороны равнобочной трапеции касаются цилиндра, ось которого перпендикулярна к параллельным сторонам трапеции. Найти угол, образуемый плоскостью трапеции с осью цилиндра, зная, что длины оснований трапеции равны а и b, а высота трапеции равна h. Смотреть решение →

Доказать, что площадь части поверхности сферы, заключенной между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по формуле \(S = 2\pi Rh\), где R — радиус сферы, h — расстояние между плоскостями. Смотреть решение →

Ромб с большей диагональю d и острым углом γвращается вокруг оси, проходящей вне его через вершину ромба и перпендикулярной к большей диагонали его. Определить объем тела вращения. Смотреть решение →

Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А₁, а вершина В — в В₁. Доказать, что в треугольнике OAB₁ медиана стороны AB₁ является высотой для \(\Delta\)OA₁В (аналогично медиана стороны А₁В в \(\Delta\)OA₁В является высотой для \(\Delta\)OAB₁).  Смотреть решение →

Внутри равностороннего треугольника взята произвольная точка, из которой опущены перпендикуляры на все его стороны. Доказать, что сумма этих трех перпендикуляров равна высоте треугольника. Смотреть решение →

Из точки А, расположенной внутри угла с зеркальными сторонами, исходит луч света. Доказать, что число отражений, которое испытывает этот луч от сторон угла, всегда конечно. Найти это число, если данный угол равен α, а луч направлен под углом β к одной из его сторон. Выяснить условия, при которых луч снова пройдет через точку А.  Смотреть решение →

Четыре шара, центры которых не лежат в одной плоскости, касаются попарно друг друга. Каждые два из них определяют плоскость, перпендикулярную к их линии центров и касающуюся обоих шаров. Доказать, что возникающие таким образом шесть плоскостей имеют общую точку. Смотреть решение →