Мы знаем, что две прямые параллельны, если при пересечении их третьей прямой равны соответственные углы, или внутренние, или внешние накрест лежащие углы, или сумма внутренних, или сумма внешних односторонних углов равна 2d. Докажем, что верны и обратные теоремы, а именно:... Читать далее →

Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна из них наклонена к плоскости основания конуса под углом α и пересекает это основание по хорде, длина которой равна а, а другая наклонена к плоскости основания под углом β и пересекает основание по хорде, длина которой равна b. Определить объем конуса. Смотреть решение →

В шаре радиуса R проведен диаметр АВ. Две прямые касаются шара в точках А и В и образуют между собой угол α (α < 90°). На этих прямых взяты точки С и D так, что CD также касается шара и угол между АВ и CD равен φ (φ < 90°). Найти объем тетраэдра ABCD. Смотреть решение →

Доказать, что если точка перемещается в плоскости основания правильной пирамиды, оставаясь внутри этого основания, то сумма расстояний этой точки от боковых граней постоянна. Смотреть решение →

Сторона основания правильной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ равна 12, а боковое ребро \(2\sqrt6\) . Найдите градусную меру угла между плоскостями AB₁C и ABC. Смотреть решение →

Даны две скрещивающиеся прямые (a и b) и точка А, не лежащая ни на одной из данных прямых. Провести через точку А прямую, пересекающую обе данные прямые (a и b) Смотреть решение →

Шаровой сегмент шара радиуса R имеет полную поверхность S. Найти его высоту. Смотреть решение →

В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата углы по 30^o. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного?  Смотреть решение →

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде с боковыми ребрами AA₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ сторона верхнего основания A₁B₁C₁D₁ равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро В₁С₁ перпендикулярно к плоскости AD₁C, делит пирамиду на две части равного объема. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, в которой параллельные стороны равны а и b ( а > b), а неравные отрезки диагоналей образуют угол φ. Найти объем пирамиды, зная, что высота пирамиды, опущенная из вершины, проходит через точку пересечения диагоналей основания, а двугранные углы, прилежащие к параллельным сторонам основания, относятся как 2:1.  Смотреть решение →

Даны две параллельные прямые и точка А между ними. Найти стороны прямоугольного треугольника, вершина прямого угла которого лежит в точке А, а вершины острых углов — на заданных параллельных прямых, зная, что площадь треугольника равна заданной величине k².  Смотреть решение →