Теория
Рассмотрим тело вращения, полученное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, которая соответствует неотрицательной непрерывной функции у = f(x), х \( \in \) [а; b] (рис. 250). Очевидно, что сечение этого тела плоскостью, проходящей через точку с абсциссой х \( \in... Читать далее →


Задачи
  • К двум окружностям радиусов R и r, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие внешние касательные. Определить площадь трапеции, ограниченной этими касательными и хордами, соединяющими точки касания.  Смотреть решение →
  • Найти значения тригонометрических функций угла φ, если известно, что он оканчивается в 4-й четверти и tg φ = - 3/4 Смотреть решение →
  • В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса и сторону квадрата, дает в сечении с поверхностью конуса треугольник, угол при вершине которого α. Определить объем и полную поверхность конуса. Смотреть решение →
  • В кубе ABCDA1B1C1D1 на АС взята точка M, а на диагонали BD1 куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD1? Смотреть решение →
  • Основанием пирамиды служит квадрат. Две противоположные грани — равнобедренные треугольники, одна из них образует с основанием внутренний угол β, а другая — внешний острый угол α. Высота пирамиды равна Н. Найти объем пирамиды и углы, образованные двумя другими боковыми гранями с плоскостью основания. Смотреть решение →
  • В основании призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB=AC и ∠ABC = α). Вершина В1верхнего основания призмы проектируется в центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание. Через сторону АС основания и вершину В1 проведена плоскость, наклоненная к плоскости основания под углом α. Найти полную поверхность отсеченной треугольной пирамиды АВСВ1 и объем призмы. Смотреть решение →
  • В треугольнике АВС АL – биссектриса угла А.Через точку А проводят прямую перпендикулярно АL и из вершины В опускают на эту прямую перпендикуляр ВВ1. Доказать, что периметр треугольника ВВ1С больше периметра треугольника АВС. Смотреть решение →
  • Найти другранный угол между основанием и боковой гранью правильной треугольной усеченной пирамиды, если известно, что в нее можно вписать шар и, кроме того, существует шар, касающийся всех ее ребер. Смотреть решение →
  • Вычислить сумму \( \frac{cos\frac{\pi}{4}}{2}+\frac{cos\frac{2\pi}{4}}{2^2}+...+\frac{cos\frac{n\pi}{4}}{2^n} \)

    Указание. Применить формулу Муавра. Смотреть решение →

  • В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом α. Через вершину прямого угла нижнего основания проведена плоскость, параллельная гипотенузе, под углом β= 90°— α к противолежащей боковой грани и пересекающая ее. Определить объем части призмы между ее основанием и сечением и боковую поверхность призмы, если известно, что боковая грань, проходящая через катет а, равновелика сечению призмы. Определить, при каком значении угла αплоскость сечения пересекает боковую грань, проходящую через гипотенузу основания. Смотреть решение →