Любой отрезок прямой имеет две концевые точки. Если одна из них принята за начало отрезка, а другая - за конец, то такой отрезок называется направленным. Направленные отрезки обычно обозначаются двумя буквами со стрелкой, например, \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\) и т.... Читать далее →

Через вершину правильной треугольной пирамиды и середины двух сторон основания проведена плоскость. Определить площадь сечения и объемы частей данной пирамиды, на которые она разделена сечением, зная сторону а ее основания, и угол α, образованный сечением с основанием. Смотреть решение →

Стороны квадрата разделены в отношении m к n, причем к каждой вершине прилежит один большой и один малый отрезок. Последовательные точки деления соединены прямыми. Найти площадь полученного четырехугольника, если сторона данного квадрата равна а.  Смотреть решение →

Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма ABCD. Доказать, что площадь треугольника АОС равна сумме или разности площадей двух смежных треугольников, образованных двумя из прямых ОА, ОВ, ОС, OD и соответствующей стороной параллелограмма. Разобрать случаи, когда точка О находится внутри и вне параллелограмма.  Смотреть решение →

Основанием пирамиды ABCD является правильный треугольник АВС со стороной 12. Ребро BD перпендикулярно плоскости основания и равно 10√3. Все вершины этой пирамиды лежат на боковой поверхности прямого кругового цилиндра, ось которого пересекает ребро BD и плоскость ABC. Определить радиус цилиндра. Смотреть решение →

Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его 12 см, а высота, опущенная на основание, равна прямой, соединяющей середины основания и боковой стороны.  Смотреть решение →

Вычислить объем правильной треугольной пирамиды, зная, что плоский угол при вершине равен α, а радиус окружности, описанной около боковой грани, равен r.  Смотреть решение →

Построить отрезки, пропорциональные двум данным отрезкам АВ и СD Смотреть решение →

Прямая, параллельная основанию треугольника, площадь которого равна S, отсекает от него треугольник с площадью, равной q. Определить площадь четырехугольника, три вершины которого совпадают с вершинами меньшего треугольника, а четвертая лежит на основании большего треугольника.  Смотреть решение →

Около шара радиуса r описана правильная n-угольная пирамида, у которой двугранный угол при основании равен α. Найти отношение объема шара к объему пирамиды. Смотреть решение →

Доказать, что в любом треугольнике радиус описанного круга R и радиус вписанного круга r связаны с расстоянием l между центрами этих кругов соотношением

l ² = R² — 2Rr  Смотреть решение →