Теория
Теорема 1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Пусть ABCDEF (рис. 419) - правильный многоугольник; надо доказать, что около него можно описать окружность. Мы знаем, что всегда можно провести окружность через три точки, не лежащие на одной прямой; значит, всегда можно... Читать далее →


Задачи
  • Решить уравнение sin 2х = cos х sin 2x Смотреть решение →
  • Дана правильная треугольная пирамида SABC (S - ее вершина). Ребро SC этой пирамиды совпадает с боковым ребром правильной треугольной призмы A1B1CA2B2S (А1А2, В1В2 и CS - боковые ребра, а А1В1С- одно из оснований). Вершины А1 и В1 лежат в плоскости грани SAB пирамиды. Какую долю от объема всей пирамиды составляет объем части пирамиды, лежащей внутри призмы, если отношение длины бокового ребра пирамиды к стороне ее основания равно \(\frac{2}{\sqrtЗ}\)? Смотреть решение →
  • Доказать, что во всяком треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса. Смотреть решение →
  • На сторонах треугольника ABC взяты точки Р, Q, R так, что три прямые АР, BQ и CR пересекаются в одной точке. Доказать, что

    AR•BP•CQ = RB•PC•QA. Смотреть решение →

  • Решить уравнение sin х - √3 cos х = 1 Смотреть решение →
  • Взяты две противоположные вершины куба и через середины шести ребер, не проходящих через эти вершины, проведена секущая плоскость, которая делит куб на две части. В каждую из этих частей помещен шар, касающийся трех граней куба и секущей плоскости. Во сколько раз объем каждого из этих шаров будет меньше объема куба?  Смотреть решение →
  • В правильной шестиугольной пирамиде центр описанной сферы лежит на поверхности вписанной. Найти отношения радиусов описанной и вписанной сфер. Смотреть решение →
  • Доказать формулу \( sin x+sin2x+...+sin nx=\frac{sin\frac{nx}{2}sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \) Указание. Можно воспользоваться формулой Муавра

    (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx Смотреть решение →

  • Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна S, а плоский угол боковой грани при вершине равен α. Найти высоту пирамиды. Смотреть решение →
  • Найти расстояние между параллельными прямыми 24х - 10y + 39 = 0 и y = 12/5 х - 26/5 Смотреть решение →