Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Так, например, на рис. 20 векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\) коллинеарны, а векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) неколлинеарны. Если векторы а и b коллинеарны, то говорят также, что вектор а коллинеарен вектору b, а... Читать далее →

Через середину С произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (К и M находятся по одну сторону от AB), Q — точка пересечения AB и KN, P — точка пересечения AB и ML. Доказать, что QC = CP.  Смотреть решение →

Треугольник ABC вписан в окружность; через вершину А проведена касательная до пересечения с продолженной стороной ВС в точке D. Из вершин В и С опущены перпендикуляры на касательную, меньший из которых равен 6 см. Определить площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если ВС = 5 см, AD = 5√6см. Смотреть решение →

В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что плоская грань его лежит на основании пирамиды, а шаровая поверхность касается боковых граней пирамиды. Найти отношение полной поверхности полушара к полной поверхности пирамиды и объем полушара, если боковые грани наклонены к плоскости основания под углом α и разность между стороной основания и диаметром шара равна m. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего оснований равны соответственно а и 3а и боковые грани наклонены к плоскости нижнего основания под углом α. Через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположной боковой грани. Определить объем четырехугольной призмы, отсеченной от данной усеченной пирамиды, и полную поверхность остальной части ее. Смотреть решение →

Катеты прямоугольного треугольника равны b и с. Найти длину биссектрисы прямого угла.  Смотреть решение →

Доказать, что если окружность касается изнутри трех сторон четырехугольника, четвертая сторона которого не пересекает окружности, то сумма четвертой и противоположной сторон меньше суммы двух других сторон четырехугольника.  Смотреть решение →

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = MD, СМ = МВ. Доказать, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности Смотреть решение →

В конус с радиусом основания R и углом α между высотой и образующей вписан шар, касающийся основания и боковой поверхности конуса. Определите объем части конуса, расположенной над шаром. Смотреть решение →

Найти геометрическое место центров сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую l. Разобрать случаи, когда прямая пересекает шар, касается его или не имеет с ним общих точек. Смотреть решение →

Пусть длины а, b, с сторон треугольника удовлетворяют неравенствам а < b < с, образуя арифметическую прогрессию. Доказать, что ac = 6Rr, где R — радиус описанного, а r — радиус вписанного в треугольник круга.  Смотреть решение →