1. Углы с соответственно параллельными сторонами.Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые (черт. 211),... Читать далее →

В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что его четыре вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а остальные четыре — в плоскости ее основания. Определить ребро куба, если высота пирамиды равна H, а боковое ребро равно l. Смотреть решение →

В треугольную пирамиду, в основании которой — правильный треугольник со стороной а, вписан цилиндр так, что нижнее его основание находится на основании пирамиды, а верхнее касается всех боковых граней. Определить объем цилиндра и объем пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через верхнее основание цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна ^a/₂, одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, а боковая грань наклонена к основанию под углом α (определить, при каких значениях а задача возможна). Смотреть решение →

Высота треугольника равна 4; она делит основание на две части, относящиеся, как 1 : 8. Найти длину прямой, параллельной высоте и делящей треугольник на равновеликие части.  Смотреть решение →

В конус с радиусом основания R и углом α между высотой и образующей вписан шар, касающийся основания и боковой поверхности конуса. Определите объем части конуса, расположенной над шаром. Смотреть решение →

В основании призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = AC и / BAC = 2α). Вершина А₁ верхнего основания проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около нижнего основания. Баковое ребро AA₁образует со стороной основания АВ угол, равный 2α. Определить объем и боковую поверхность призмы. Смотреть решение →

Доказать, что перпендикуляры к хорде, восставленные в ее концах, пересекают произвольный диаметр в точках, которые равно удалены от центра Смотреть решение →

Даны окружность К радиуса r и ее хорда АВ длиной 2a. Пусть CD - подвижная хорда той же окружности, имеющая постоянную длину 2b. Найти геометрическое место точек пересечения прямых АС и BD Смотреть решение →

Рассматриваем куб с ребром а. Через концы каждой тройки ребер, выходящих из общей вершины, проведена плоскость. Найти объем тела, ограниченного этими плоскостями.  Смотреть решение →

В основании пирамиды ABCDE лежит параллелограмм ABCD. Ни одна из боковых граней не является тупоугольным треугольником. На ребре DC существует такая точка М, что прямая ЕМ перпендикулярна ВС. Кроме того, диагональ основания АС и боковые ребра ED и ЕВ связаны соотношениями: \(|AC|\geq\frac{5}{4}|ЕВ|\geq\frac{5}{3}|ED|\).
Через вершину В и середину одного из боковых ребер проведено сечение, представляющее собой равнобочную трапецию. Найти отношение площади сечения и площади основания пирамиды. Смотреть решение →

Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма ABCD. Доказать, что площадь треугольника АОС равна сумме или разности площадей двух смежных треугольников, образованных двумя из прямых ОА, ОВ, ОС, OD и соответствующей стороной параллелограмма. Разобрать случаи, когда точка О находится внутри и вне параллелограмма.  Смотреть решение →