Угол между двумя векторамиРассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве. Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление... Читать далее →

Доказать, что во всяком треугольнике большей стороне соответствует меньшая биссектриса. Смотреть решение →

В основании пирамиды лежит прямоугольник. Одна из боковых граней имеет вид равнобедренного треугольника и перпендикулярна к основанию; в другой грани, противоположной первой, боковые ребра, равные b, образуют между собой угол 2α и наклонены к первой грани под углом α. Определить объем пирамиды и угол между указанными двумя гранями. Смотреть решение →

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и углом при основании, равным α. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью, и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Определить боковую поверхность призмы и объем отсеченной четырехугольной пирамиды. Смотреть решение →

Доказать, что в любом остроугольном треугольнике k_a + k_b + k_c = r + R, где k_a, k_b, k_c - перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей.

Указание. Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника.  Смотреть решение →

Определить полную поверхность призмы, описанной около шара, если площадь ее основания равна S. Смотреть решение →

Найти угол и расстояние между двумя скрещивающимися медианами двух боковых граней правильного тетраэдра с ребром a. Смотреть решение →

В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найти объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол между двумя соседними боковыми ребрами равен α. Смотреть решение →

Площади параллельных сечений шара, расположенных по одну сторону от его центра, равны S₁ и S₂, а расстояние между этими сечениями равно d. Найти площадь сечения, параллельного данным и делящего пополам расстояние между ними.  Смотреть решение →

ABCA₁В₁С₁ - правильная треугольная призма, все ребра которой равны между собой. К - точка на ребре АВ, отличная от A и B, М - на прямой В₁С₁, L - в плоскости грани АСС₁А₁. Прямая KL образует равные углы с плоскостями ABC и ABB₁A₁, LM образует равные углы с плоскостями BCC₁В₁ и АСС₁А₁, КМ также образует равные углы с плоскостями ВСС₁В₁ и АСС₁А₁. Известно, что | KL | = | КМ | = 1. Найти ребро призмы. Смотреть решение →

Пусть длины а, b, с сторон треугольника удовлетворяют неравенствам а < b < с, образуя арифметическую прогрессию. Доказать, что ac = 6Rr, где R — радиус описанного, а r — радиус вписанного в треугольник круга.  Смотреть решение →