Прежде всего отметим уже известные нам тождества $$ tg \phi=\frac{sin \phi}{cos \phi} \;\;(1)$$ $$ ctg \phi=\frac{cos \phi}{sin \phi} \;\;(2)$$ Из этих двух тождеств следует, что tg φ • ctg φ = 1 (3) Теперь покажем, что для любого угла φ sin2 φ +... Читать далее →

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью AA₁С и прямой А₁В, если AA₁=3, AB=4, BC= 4. Смотреть решение →

Показать, что площадь любого треугольного сечения произвольной треугольной пирамиды не превосходит площади хотя бы одной из ее граней. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего оснований равны соответственно а и 3а и боковые грани наклонены к плоскости нижнего основания под углом α. Через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположной боковой грани. Определить объем четырехугольной призмы, отсеченной от данной усеченной пирамиды, и полную поверхность остальной части ее. Смотреть решение →

В равносторонний треугольник со стороной а вписан круг. Затем в этот треугольник вписаны еще три круга, касающиеся первого круга и сторон треугольника, и еще три круга, касающиеся только что вписанных кругов и сторон треугольника, и т. д. Найти сумму площадей всех вписанных кругов ( то есть предел суммы площадей вписанных кругов.) Смотреть решение →

Через вершину конуса проведена плоскость под углом α к основанию конуса. Эта плоскость пересекает основание по хорде АВ длины a , стягивающей дугу основания конуса, которой соответствует центральный угол β. Найти объем конуса. Смотреть решение →

Доказать, что любой плоский угол произвольного четырехгранного угла меньше суммы трех других плоских углов. Смотреть решение →

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Сечение, делящее угол между боковыми гранями пополам, есть прямоугольный треугольник. Определить объем пирамиды и угол между боковой гранью ее и плоскостью основания. Смотреть решение →

Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 16π, высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы. Смотреть решение →

В треугольную пирамиду, в основании которой — правильный треугольник со стороной а, вписан цилиндр так, что нижнее его основание находится на основании пирамиды, а верхнее касается всех боковых граней. Определить объем цилиндра и объем пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через верхнее основание цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна ^a/₂, одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, а боковая грань наклонена к основанию под углом α (определить, при каких значениях а задача возможна). Смотреть решение →

Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна S, а плоский угол боковой грани при вершине равен α. Найти высоту пирамиды. Смотреть решение →