Теория
Определение. Два цилиндра или конуса называются подобными, если они произошли от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников вокруг сходственных сторон. Пусть h и h1 будут высоты двух подобных цилиндров или конусов, r и r1 - радиусы их оснований, l и l1... Читать далее →


Задачи
  • Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше удвоенной соответствующей медианы. Смотреть решение →
  • На сфере, радиус которой равен 2, расположены три окружности радиуса 1, каждая из которых касается двух других. Найти радиус окружности, меньшей, чем данные, которая также расположена на данной сфере и касается каждой из данных окружностей. Смотреть решение →
  • В треугольник вписан круг радиусом 4 см. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на части, равные 6 см и 8 см. Найти длины двух других сторон. Смотреть решение →
  • Доказать, что если tg α = 1/7, sin β = 1/√10, то

    α + 2β = 45° (α и β- углы первой четверти). Смотреть решение →
  • В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания, зная, что отношение объема пирамиды к объему шара равно 27√3 /4π. Смотреть решение →
  • В правильной n-угольной пирамиде плоский угол при вершине равен α, а сторона основания а. Определить объем. Смотреть решение →
  • Трехгранный угол пересекается плоскостью по треугольнику ABC. Найти геометрическое место центров тяжести треугольников ABC при условии, что:
    1. вершины А и В закреплены;
    2. вершина А закреплена.
     Смотреть решение →
  • В конус вписан шар радиуса r. Найти объем конуса, зная, что плоскость, касающаяся шара и перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины конуса на расстоянии d. Смотреть решение →
  • Треугольная пирамида рассечена плоскостью на два многогранника. Найти отношение объемов этих многогранников, если известно, что секущая плоскость делит три боковые ребра, сходящиеся в одной вершине пирамиды, в отношении 1:2, 1:2 и 2:1, считая от вершины. Смотреть решение →
  • АВСD – квадрат, точка М на стороне СD, АК – биссектриса угла ВАМ (К на ВС). Доказать, что АМ = ВК + DM Смотреть решение →