Теорема. Внешний угол всякого треугольника больше каждого внутреннего угла треугольника, не смежного с ним. Дано: ∠BCD — внешний угол треугольника ABC. Надо доказать, что ∠BCD > ∠B и ∠BCD > ∠A. Доказательство. Для доказательства выполним в первую очередь построение, в результате которого внешний... Читать далее →

В пространстве даны точки А, В, С и D, причем |АВ| = |ВС| = |CD|, ∠АВС = ∠BCD = ∠CDA = α. Найти угол между прямыми АС и BD. Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит квадрат ABCD со стороной a, боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно b. М - точка на ребре AS. Точки М, В и D лежат на боковой поверхности прямого кругового конуса с вершиной в точке А, а точка С - в плоскости основания этого конуса. Определить площадь боковой поверхности конуса. Смотреть решение →

Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с боковой гранью угол α, а сторона основания равна b. Смотреть решение →

В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и b и острый угол — α. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объем параллелепипеда. Смотреть решение →

Внутри треугольника АВС взята точка М и построены параллелограммы АМВМ₁, ВМСВ₂, СМАМ₃. Доказать, что прямые АМ₂, ВМ₃, СМ₁ пересекаются в одной точке. Смотреть решение →

В конус, радиус основания которого равен R и образующие наклонены к основанию под углом ^α/₂, вписана прямая треугольная призма так, что ее нижнее основание лежит на основании конуса, а вершины верхнего — на боковой поверхности конуса. Определить боковую поверхность призмы, если в основании призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом α, а высота призмы равна радиусу сечения конуса плоскостью, проходящей через верхнее основание призмы. Смотреть решение →

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону этой трапеции, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ^π/₆. Смотреть решение →

Доказать, что \( y=\frac{sin x+tg x}{cos x+ctg x} \) принимает положительные значения при всех допустимых значениях х Смотреть решение →

Угол при вершине треугольника, боковые стороны которого равны а и b (a < b), разделен на три равные части прямыми, отрезки которых внутри треугольника относятся как m : n (m < n). Найти длины этих отрезков. Смотреть решение →

Внутри квадрата СО стороной а расположены четыре равных круга; каждый из них касается двух смежных сторон квадрата и двух кругов (из числа остальных трех). Найти площадь криволинейного четырехугольника, образованного дугами касающихся кругов (вершинами служат точки касания кругов). Смотреть решение →