Определения. Возьмём несколько углов (черт. 37): ASB, BSC, CSD, которые, примыкая последовательно один к другому, расположены в одной плоскости вокруг общей вершины S. Повернём плоскость угла ASВ вокруг общей стороны SB так, чтобы эта плоскость составила некоторый двугранный угол с... Читать далее →

Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найти отношение объемов этих тел. При каких q задача разрешима? Смотреть решение →

Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно √3. Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы Смотреть решение →

В треугольнике ABC через точку пересечения биссектрис углов В и С проведена параллельно ВС прямая MN до пересечения в точках М и N соответственно со сторонами АВ и АС. Найти зависимость между отрезками MN, ВМ, CN.
Разобрать случаи:

1. обе биссектрисы внутренние;
2. обе биссектрисы внешние;
3. одна из биссектрис внутренняя, другая внешняя.

Когда М и N совпадут?  Смотреть решение →

Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ψ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды равно l, оно наклонено к плоскости основания под углом β. Диагональ пирамиды перпендикулярна к боковому ребру ее. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник ABC, где АВ=АС. Высота пирамиды SO проходит через середину высоты AD основания. Через сторону ВС проведена плоскость перпендикулярно к боковому ребру AS, образующая с основанием угол α. Определить объем пирамиды, отсеченной от данной и имеющей с ней общую вершину S, если объем другой отсеченной части ее равен V. Смотреть решение →

Доказать, что площадь части поверхности сферы, заключенной между двумя параллельными плоскостями, пересекающими сферу, можно найти по формуле \(S = 2\pi Rh\), где R — радиус сферы, h — расстояние между плоскостями. Смотреть решение →

Если каждую из двух противолежащих сторон четырехугольника разделить на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то прямая соединяющая точки деления пересекает продолжения двух других сторон под равными углами Смотреть решение →

В прямоугольник со сторонами 3 м и 4 м вписан другой прямоугольник, стороны которого относятся, как 1 : 3. Найти стороны этого прямоугольника.  Смотреть решение →

В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH - высота, AB = 13, tgA = 5. Найдите BH. Смотреть решение →