Определение. Плоскость и прямая, не лежащая в этой плоскости, называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Теорема. Если прямая (АВ, черт. 5) параллельна какой-нибудь прямой (СD), расположенной в плоскости (Р), то она параллельна самой плоскости. Проведём через АВ... Читать далее →

В треугольнике из основания каждой высоты опущены перпендикуляры на две другие стороны. Доказать, что: 1) основания этих перпендикуляров являются вершинами шестиугольника, три из сторон которого параллельны сторонам треугольника; 2) вокруг этого шестиугольника можно описать окружность.  Смотреть решение →

Определить углы прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанного около него круга относится к радиусу вписанного круга как 5:2. Смотреть решение →

В правильном тетраэдре SABC с ребром основания а проведены три плоскости, каждая из которых проходит через одну из вершин основания тетраэдра ABC и середины двух боковых ребер. Найти объем части тетраэдра, расположенной над всеми секущими плоскостями.  Смотреть решение →

На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом b построены квадраты во внешние стороны. Центры этих квадратов соединены между собою прямыми линиями. Найти площадь получившегося треугольника.  Смотреть решение →

В правильной шестиугольной пирамиде с плоским углом при вершине, равным α, проведено сечение через наибольшую диагональ основания под углом β к нему. Найти отношение площади сечения к площади основания.  Смотреть решение →

Около круга описана трапеция с углами при основании α и β. Найти отношение площади трапеции к площади круга. Смотреть решение →

Около шара радиуса r описана правильная n-угольная пирамида, у которой двугранный угол при основании равен α. Найти отношение объема шара к объему пирамиды. Смотреть решение →

Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 2 см и 4 см. Найти площадь трапеции. Смотреть решение →

Около правильной треугольной призмы описан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и стороной основания призмы равно √3. Высота цилиндра равна трем его радиусам. Найдите объём призмы Смотреть решение →

Доказать, что \( y=\frac{sin x+tg x}{cos x+ctg x} \) принимает положительные значения при всех допустимых значениях х Смотреть решение →