Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол. Пусть в ΔАВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (рис.). Отложим на стороне АВ от... Читать далее →

Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон трапеции, пройдет через точку пересечения диагоналей. Смотреть решение →

Вычислить угол между прямой и плоскостью: $$ а) \; \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-7}{-1} \;\;и\;\; 4x+y+z+13=0 \\ б) \begin{cases} x = 2-3t\\y=1-t\\z=-4t\end{cases} \;\;и \;\;x+2y-z+1=0 \\ в) \begin{cases} 3x-2y+z+1=0\\4x-3y+4z=0\end{cases} \;\;и \;\;2x-y-2z+5=0 $$ Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 20°. На боковых сторонах AB и BC взяты, соответственно, точки Q и P так, что ∠ACQ = 60°, a ∠CAP = 50°. Доказать, что ∠APQ = 80°.  Смотреть решение →

Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно l , а двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями равен β. Смотреть решение →

В шар вписан правильный тетраэдр, затем в тетраэдр снова вписан шар. Найти отношение поверхностей двух шаров. Смотреть решение →

В тетраэдре три двугранных угла прямые. Один из отрезков, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, равен a, а другой b (b > a). Найти длину наибольшего ребра тетраэдра. Смотреть решение →

Найти канонические уравнения прямой, проходящей через точку М₀(-5; 0; 8) и перпендикулярной плоскости 2х - 3у + 5z = 0 Смотреть решение →

Рассматриваем куб с ребром а. Через концы каждой тройки ребер, выходящих из общей вершины, проведена плоскость. Найти объем тела, ограниченного этими плоскостями.  Смотреть решение →

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны верхнего и нижнего оснований равны соответственно а и 3а и боковые грани наклонены к плоскости нижнего основания под углом α. Через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположной боковой грани. Определить объем четырехугольной призмы, отсеченной от данной усеченной пирамиды, и полную поверхность остальной части ее. Смотреть решение →

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, у которого один острый угол равен αи радиус вписанного круга равен r. Каждая из боковых граней образует с основанием угол α. Определить объем, боковую и полную поверхность пирамиды. Смотреть решение →