Теория
Построим равнобедренный треугольник ABC и проведём в нём биссектрису угла, заключённого между равными сторонами AB и CB. Равнобедренный треугольник разбился на два треугольника ABD и CBD. Перегнём мысленно плоскость чертежа по биссектрисе BD так, чтобы правая часть её совпала с левой.... Читать далее →


Задачи
  • АА1 – высота равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС, CD – биссектриса. Проведены DE⊥BC, DF⊥CD до пересечения со стороной ВС. Доказать, что А1Е = 1/4 CF. Смотреть решение →
  • Определить угол параллелограмма, если даны две его высоты h1 и h2 и периметр 2р. Смотреть решение →
  • В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и углом при основании, равным α. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью, и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Определить боковую поверхность призмы и объем отсеченной четырехугольной пирамиды. Смотреть решение →
  • Найти третью сторону треугольника, если даны две стороны его а и b и известно, что медианы, соответствующие этим сторонам, пересекаются под прямым углом.
    При каких условиях такой треугольник существует? Смотреть решение →
  • Рассматривается проекция куба с ребром а на плоскость, перпендикулярную к одной из диагоналей куба. Во сколько раз площадь проекции будет больше площади сечения куба плоскостью, проходящей через середину диагонали куба перпендикулярно к ней?  Смотреть решение →
  • Доказать, что если из концов диаметра круга провести две пересекающиеся хорды, то сумма произведений каждой хорды на ее отрезок от конца диаметра до точки пересечения есть величина постоянная.  Смотреть решение →
  • В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5, cosACB = 0,8. Найдите высоту CH Смотреть решение →
  • Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной к основанию и делящей две стороны основания пополам. Определить объем отсеченной пирамиды, если даны сторона а основания первоначальной пирамиды и двугранный угол αпри основании. Смотреть решение →
  • Показать, что отрезки, соединяющие вершины некоторой треугольной пирамиды с центрами тяжести противолежащих граней, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 1:3. Смотреть решение →
  • Даны два равных полукруга, касающихся друг друга так, что диаметры их лежат на одной прямой. Проводим к ним общую касательную и вписываем первый круг, касающийся этой прямой и двух данных кругов; затем вписываем второй круг, касающийся первого и двух данных, затем третий круг, касающийся второго и двух данных, и т. д. до бесконечности. Пользуясь этим построением, доказать, что сумма дробей

    \(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} +...+ \frac{1}{n(n + 1)}\)

    при безграничном возрастании n стремится к 1, т. е.

    \(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +...+ \frac{1}{n(n + 1)} = 1\)

     Смотреть решение →