Теория
Определение. Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Возможность существования такой плоскости доказывается следующей теоремой. Теорема. Плоскость (Р, черт. 140), перпендикулярная к радиусу (АО) в конце его, лежащем на поверхности шара, есть касательная плоскость. Возьмём на плоскости... Читать далее →


Задачи
  • Внутри равностороннего треугольника со стороной а расположены три равных круга, касающиеся сторон треугольника и взаимно касающиеся друг друга. Найти площадь криволинейного треугольника, образованного дугами взаимно касающихся кругов (вершинами служат точки взаимного касания). Смотреть решение →
  • Вычислите объём правильной шестиугольной пирамиды, если сторона основания равна 4, а боковые ребра пирамиды равны 5 Смотреть решение →
  • В треугольнике с вершинами в точках М1(-5; 2), М2(5; 6) и М3(1; -2) проведена медиана М1А1. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А1 перпендикулярно медиане M1A1 Смотреть решение →
  • Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = MD, СМ = МВ. Доказать, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности Смотреть решение →
  • Ребро куба равно а; АВ — его диагональ. Найти радиус сферы, касающейся трех граней, сходящихся в вершине А, и касающейся трех ребер, выходящих из вершины В. Найти также часть поверхности этой сферы, которая лежит вне куба. Смотреть решение →
  • Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, если радиус вписанной в основание окружности равен 2, а высота правильной пирамиды равна 3√3. Смотреть решение →
  • Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с боковой гранью угол β= 90°— α. Плоскость, проведенная через эту диагональ и боковое ребро, пересекающееся с ней, образует с той же боковой гранью угол α(доказать, что α > 45°). Определить объем параллелепипеда. Смотреть решение →
  • Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = MD, СМ = МВ. Доказать, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности Смотреть решение →
  • Доказать, что в любом треугольнике отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной не превосходит 1/2. Смотреть решение →
  • Может ли быть правильным треугольник, расстояния вершин которого до двух данных взаимно перпендикулярных прямых выражаются целыми числами?  Смотреть решение →