Теория
Еще один способ определения положения точки на плоскости при помощи чисел - полярная система координат. Рассмотрим на плоскости ось l с единичным вектором е и началом отсчета О (рис. 42). Пусть М произвольная точка плоскости, не совпадающая с точкой О. Тогда \(\overrightarrow{OM}\)... Читать далее →


Задачи
  • В шар вписаны два одинаковых конуса, оси которых совпадают, а вершины находятся в противоположных концах диаметра шара. Найти отношение объема общей части этих двух конусов к объему шара, зная, что отношение высоты конуса h к радиусу шара R равно k. Смотреть решение →
  • Боковое ребро правильной треугольной пирамиды l, а высота пирамиды h. Определить двугранный угол при основании. Смотреть решение →
  • Трехгранный угол пересекается плоскостью по треугольнику ABC. Найти геометрическое место центров тяжести треугольников ABC при условии, что:
    1. вершины А и В закреплены;
    2. вершина А закреплена.
     Смотреть решение →
  • В основании призмы АВСА1В1С1 лежит равнобедренный треугольник ABC (AB=AC и ∠ABC = α). Вершина В1верхнего основания призмы проектируется в центр окружности радиуса r, вписанной в нижнее основание. Через сторону АС основания и вершину В1 проведена плоскость, наклоненная к плоскости основания под углом α. Найти полную поверхность отсеченной треугольной пирамиды АВСВ1 и объем призмы. Смотреть решение →
  • Параллельные стороны трапеции равны а и b. Определить длину отрезка, параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.  Смотреть решение →
  • Доказать, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения одинаково удалены от ребра. Смотреть решение →
  • Найти стороны прямоугольного треугольника по данным: периметру 2р и высоте h.  Смотреть решение →
  • Определить угол параллелограмма, если даны две его высоты h1 и h2 и периметр 2р. Смотреть решение →
  • Вычислить сумму \( \frac{cos\frac{\pi}{4}}{2}+\frac{cos\frac{2\pi}{4}}{2^2}+...+\frac{cos\frac{n\pi}{4}}{2^n} \)

    Указание. Применить формулу Муавра. Смотреть решение →

  • Найти отношение объема правильной n-угольной пирамиды к объему вписанного в нее шара, зная, что окружности, описанные около основания и боковых граней пирамиды, равны между собой. Смотреть решение →