Множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки С, называется сферой радиуса R с центром в точке С (рис. 211). Другими словами, сфера радиуса R с центром в точке С - это множество всех точек М пространства,... Читать далее →

Каждая вершина параллелограмма соединена с серединами двух противоположных сторон. Какую часть площади параллелограмма составляет площадь фигуры, ограниченной проведенными линиями? Смотреть решение →

Доказать, что если в треугольной пирамиде сумма длин любой пары противоположных ребер одна и та же, то вершины этой пирамиды являются центрами четырех шаров, попарно касающихся друг друга. Смотреть решение →

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна dи образует с двумя смежными боковыми гранями равные углы α. Определить объем параллелепипеда и угол, который образует с плоскостью основания плоскость, проведенная через концы трех ребер, выходящих из одной вершины. Смотреть решение →

Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него шара равно q. Найти отношение объемов этих тел. При каких q задача разрешима? Смотреть решение →

В прямоугольном треугольнике АВС катеты ВС и АС продолжены за точку С так, что СА’ = СА и СВ’ = CВ. Точки А’ и В’ соединены прямой. Пусть СМ – медиана, СН – высоты треугольника АВС. Доказать, что: 1) продолжение СН’ медианы МС до пересечения с А’В’ – высота треугольника А’В’С; 2) продолжение СМ’ высоты НС до пересечения с А’В’ – медиана треугольника А’В’С. Смотреть решение →

На плоскости Р дан угол ВАС в 60°. Точка S удалена от вершины угла А на 25 см, от стороны АВ на 7 см и от стороны АС на 20 см. Найти расстояние от точки S до плоскости Р. Смотреть решение →

Правильная пятиугольная пирамида SABCDE пересечена плоскостью, проходящей через вершины А и С основания и середины ребер DS и ES. Найти площадь сечения, если q есть длина стороны основания пирамиды, a b — длина бокового ребра.  Смотреть решение →

Через вершину конуса проведена плоскость под углом α к основанию конуса. Эта плоскость пересекает основание по хорде АВ длины a , стягивающей дугу основания конуса, которой соответствует центральный угол β. Найти объем конуса. Смотреть решение →

Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна из них наклонена к плоскости основания конуса под углом α и пересекает это основание по хорде, длина которой равна а, а другая наклонена к плоскости основания под углом β и пересекает основание по хорде, длина которой равна b. Определить объем конуса. Смотреть решение →

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ на АС взята точка M, а на диагонали BD₁ куба взята точка N так, что ∠NMC = 60°, ∠MNB = 45°. В каком отношении точки М и N делят отрезки АС и BD₁? Смотреть решение →