Теория
Пусть дана некоторая точка M0 и ненулевой вектор n. Через точку M0 можно провести только одну плоскость р перпендикулярную вектору n (рис. 201). Выведем уравнение плоскости р. Пусть М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости р тогда... Читать далее →


Задачи
  • Длины диагоналей ромба относятся как 3:4. Во сколько раз площадь ромба больше площади вписанного в него круга? Смотреть решение →
  • Центры трех сфер, радиусы которых равны 3, 4 и 6, расположены в вершинах правильного треугольника со стороной 11. Сколько существует плоскостей, касающихся одновременно всех трех сфер? Смотреть решение →
  • В прямой угол с вершиной А вписана окружность; В и С — точки касания. Доказать, что если к данной окружности провести касательную, пересекающую стороны АВ и АС в точках М и N, то она отсечет на этих сторонах отрезки MB и NC, сумма длин которых больше, чем 1/3(АВ + АС), и меньше, чем 1/2 (АВ + АС)  Смотреть решение →
  • В прямоугольном параллелепипеде проведена плоскость через диагональ основания и диагональ большей боковой грани, выходящих из одной вершины. Угол между этими диагоналями равен β. Определить боковую поверхность параллелепипеда, площадь сечения и угол наклона сечения к плоскости основания, если известно, что радиус окружности, описанной около основания параллелепипеда, равен R и меньший угол между диагоналями основания равен 2α. Смотреть решение →
  • Около окружности радиуса 2 описана равнобедренная трапеция ABCD площади 20. Найдите стороны этой трапеции. Смотреть решение →
  • Стороны квадрата разделены в отношении m к n, причем к каждой вершине прилежит один большой и один малый отрезок. Последовательные точки деления соединены прямыми. Найти площадь полученного четырехугольника, если сторона данного квадрата равна а.  Смотреть решение →
  • В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник ABC. Радиус окружности, описанной около него, равен R, катет АС стягивает дугу, равную 2β. Через диагональ боковой грани, проходящей через другой катет ВС, проведена плоскость перпендикулярно к этой грани, образующая с плоскостью основания угол β. Определить боковую поверхность призмы и объем отсеченной четырехугольной пирамиды. Смотреть решение →
  • Доказать, что если в произвольном четырехугольнике ABCD пронести внутренние биссектрисы, то четыре точки пересечения биссектрис углов А и С с биссектрисами углов В и D лежат на окружности.  Смотреть решение →
  • Доказать, что разность между суммой квадратов расстояний произвольной точки М плоскости до двух противоположных вершин параллелограмма ABCD и суммой квадратов расстояний от той же точки до двух других вершин есть величина постоянная. Смотреть решение →
  • Построить отрезки, пропорциональные двум данным отрезкам АВ и СD Смотреть решение →