Теория
Теорема. Любой вектор m может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых некомпланарных векторов а, b и с: m = xa + yb + zc. (1) Прежде всего отметим, что никакие два вектора из векторов а, b,... Читать далее →


Задачи
  • На отрезке прямой АВ взята точка С. По одну сторону АВ восставлены к ней перпендикуляры АА1 = ВС и ВВ1 = АС, а по другую СС1 = АВ. На стороне А1В1 треугольника А1В1С1 строится квадрат по ту же сторону от А1В1, что и вершина С1; аналогично строятся квадраты на сторонах В1С1 и С1А1. Доказать, что точки пересечения диагоналей каждого квадрата совпадают соответственно с точками С, А и В. Смотреть решение →
  • Найти стороны прямоугольного треугольника по данным: периметру 2р и высоте h.  Смотреть решение →
  • В шар вписан конус, объем которого равен 1/4 объема шара. Найти объем шара, если высота конуса равна Н. Смотреть решение →
  • Правильный тетраэдр объема V повернут около прямой, соединяющей середины его скрещивающихся ребер, на угол α. Найти объем общей части данного тетраэдра и повернутого (0 < α < π) Смотреть решение →
  • Решить уравнение cos 4x cos 2x = cos 5x cos x Смотреть решение →
  • Решить уравнение tg 3х - tg x = 0 Смотреть решение →
  • На плоскости лежат четыре равных шара радиуса R, причем три из них касаются попарно друг друга, а четвертый касается двух из этих трех. На эти шары сверху положены два равных шара меньшего радиуса, касающихся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаров. Найти отношение радиусов большого и малого шаров.  Смотреть решение →
  • Боковая поверхность конуса равна S, а полная поверхность — Р. Определить угол между высотой и образующей. Смотреть решение →
  • Даны два шара О и О1 касающиеся извне, и описанный около них конус. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, основаниями которого служат окружности прикосновения шаров к поверхности конуса, если радиусы шаров равны R и R1 Смотреть решение →
  • Найти геометрическое место точек, из которых можно провести к данному шару радиуса R три касательные, образующие трехгранный угол с тремя прямыми плоскими углами. Смотреть решение →