Рассмотрим два прямоугольных треугольника с острыми углами в 60° и 30° (рис. 364). Стороны второго треугольника по сравнению с первым уменьшены в два раза: \(\frac{AB}{A’B’}\) = 2; \(\frac{AC}{A’C’}\) = 2; \(\frac{BC}{B’C’}\) = 2. У этих треугольников углы попарно равны. Стороны, лежащие против равных... Читать далее →

Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость P под углом α к плоскости треугольника. Определить периметр и площадь фигуры, которая получится, если спроектировать треугольник на плоскость P. Гипотенуза треугольника равна с. Смотреть решение →

Сторона основания АВС правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна a. Точки М и N являются соответственно серединами ребер А₁В₁ и АА₁. Проекция отрезка ВМ на прямую C₁N равна \(\frac{a}{2\sqrt5}\). Определить высоту призмы. Смотреть решение →

Вычислить угол между прямой и плоскостью: $$ а) \; \frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-7}{-1} \;\;и\;\; 4x+y+z+13=0 \\ б) \begin{cases} x = 2-3t\\y=1-t\\z=-4t\end{cases} \;\;и \;\;x+2y-z+1=0 \\ в) \begin{cases} 3x-2y+z+1=0\\4x-3y+4z=0\end{cases} \;\;и \;\;2x-y-2z+5=0 $$ Смотреть решение →

Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М так, что АМ = MD, СМ = МВ. Доказать, что точки А, В, С и D лежат на одной окружности Смотреть решение →

В основании пирамиды лежит прямоугольник. Одна из боковых граней наклонена к основанию под углом β= 90°— α, а противоположная ей грань перпендикулярна к основанию и имеет вид прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине пирамиды и острым углом, равным α. Сумма высот этих двух граней равна m. Определить объем пирамиды и сумму площадей двух других боковых граней. Смотреть решение →

В трапеции средняя линия равна 4, а углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найти основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1. Смотреть решение →

В трапеции ABCD сумма углов при основании AD равна ^π/₂. Доказать, что отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований. Смотреть решение →

В тетраэдр, у которого ребро равно а, вписан шар так, что он касается всех ребер тетраэдра. Определить радиус этого шара и объем части шара, расположенной вне тетраэдра. Смотреть решение →

На плоскости лежат три равных шара радиуса R, попарно касающихся друг друга. Четвертый шар касается плоскости и каждого из первых трех шаров. Найти радиус четвертого шара.  Смотреть решение →

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с боковой стороной аи углом αпри основании (α > 45°). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом β. В этой пирамиде проведена плоскость через ее высоту и вершину одного из углов α. Найти площадь сечения. Смотреть решение →