Поставим задачу определить, в каком случае прямая может считаться перпендикулярной к плоскости. Докажем предварительно следующее предложение. Теорема. Если прямая (АА1, черт. 15), пересекающаяся с плоскостью (МN), перпендикулярна к каким-нибудь двум прямым (ОВ и ОС), проведенным на этой плоскости через точку... Читать далее →

Ребро куба и ребро правильного тетраэдра лежат на одной прямой, середины противоположных им ребер куба и тетраэдра совпадают. Найти объем общей части куба и тетраэдра, если ребро куба равно a. Смотреть решение →

На сторонах треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABC₁, BCA₁, CAB₁, не перекрывающиеся с \(\Delta\)ABC. Доказать, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.  Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а высота 20 см. Определить высоту, опущенную на боковую сторону.  Смотреть решение →

В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата углы по 30^o. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного?  Смотреть решение →

Двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды равен φ. Определить плоский угол при вершине пирамиды. Смотреть решение →

Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 16π, высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы. Смотреть решение →

В ромб со стороной а и острым углом 60° вписана окружность. Определить площадь прямоугольника, вершины которого лежат в точках касания окружности со сторонами ромба. Смотреть решение →

Доказать, что всякая плоскость, проходящая через середины двух противоположных ребер тетраэдра, делит этот тетраэдр на две равновеликие части. Смотреть решение →

Стороны треугольника: а = 13, b = 14, с = 15. Две из них (а и b) служат касательными к кругу, центр которого лежит на третьей стороне. Определить радиус круга.  Смотреть решение →

Объем правильной четырехугольной пирамиды равен V. Угол наклона ее бокового ребра к плоскости основания равен α. Нaйти боковое ребро пирамиды. Смотреть решение →