Пифагор - греческий учёный, живший около 2500 лет назад (564-473 гг. до нашей эры).Пусть дан прямоугольный треугольник, стороны которого а, b и с (рис. 267). Построим на его сторонах квадраты. Площадиэтих квадратов соответственно равны а2, b2и с2. Докажем, что с2 =... Читать далее →

На отрезке прямой АВ взята точка С. По одну сторону АВ восставлены к ней перпендикуляры АА₁ = ВС и ВВ₁ = АС, а по другую СС₁ = АВ. На стороне А₁В₁ треугольника А₁В₁С₁ строится квадрат по ту же сторону от А₁В₁, что и вершина С₁; аналогично строятся квадраты на сторонах В₁С₁ и С₁А₁. Доказать, что точки пересечения диагоналей каждого квадрата совпадают соответственно с точками С, А и В. Смотреть решение →

Доказать, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения одинаково удалены от ребра. Смотреть решение →

В треугольную пирамиду, в основании которой — правильный треугольник со стороной а, вписан цилиндр так, что нижнее его основание находится на основании пирамиды, а верхнее касается всех боковых граней. Определить объем цилиндра и объем пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через верхнее основание цилиндра, если известно, что высота цилиндра равна ^a/₂, одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, а боковая грань наклонена к основанию под углом α (определить, при каких значениях а задача возможна). Смотреть решение →

В конус вписана треугольная пирамида SABC (S совпадает с вершиной конуса, А, В и С лежат на окружности основания конуса), двугранные углы при ребрах SA, SB и SC равны соответственно α, β и γ. Найти угол между плоскостью SBC и плоскостью, касающейся поверхности конуса по образующей SC. Смотреть решение →

Основание треугольника делится высотою на части в 36 см и 14 см. Перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь данного треугольника пополам. На какие части эта прямая разбила основание треугольника?  Смотреть решение →

Даны две концентрические сферы радиусов r и R (R > r ). При каком соотношении между R и r можно внутри большей сферы построить правильный тетраэдр так, чтобы три вершины его основания лежали на большей сфере, а три боковые грани касались меньшей сферы?  Смотреть решение →

Через вершину конуса проведены две плоскости. Одна из них наклонена к плоскости основания конуса под углом α и пересекает это основание по хорде, длина которой равна а, а другая наклонена к плоскости основания под углом β и пересекает основание по хорде, длина которой равна b. Определить объем конуса. Смотреть решение →

Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других. Смотреть решение →

В треугольнике основание равно 60 см, высота 12 см и медиана, проведенная к основанию, 13 см. Определить боковые стороны.  Смотреть решение →

На плоскости Р лежат три равных шара радиуса R, касающиеся друг друга. Прямой круговой конус расположен так, что его плоскость основания совпадает с Р, а данные шары касаются конуса и лежат вне его. Найти радиус основания конуса, если его высота задана и равна qR.  Смотреть решение →