Относительное положение прямой и окружности Прямая относительно окружности может находиться в следующих трех положениях: Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса. В этом случае все точки прямой лежат вне круга. Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. В этом случае прямая... Читать далее →

Треугольник АВС после поворота около вершины А занял положение АВ’С’. Доказать, что если прямая АС делит отрезок ВВ’ пополам, то прямая АВ’ делит пополам отрезок СС’ Смотреть решение →

Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключающих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны. Смотреть решение →

В основании треугольной пирамиды SABC лежит равнобедренный прямоугольный треугольник \(\Delta АВС\) (∠А = 90°). Углы ∠SAB, ∠SCA, ∠SAC, ∠SBA (в указанном порядке) составляют арифметическую прогрессию, разность которой отлична от нуля. Площади граней SAB, АВС и SAC составляют геометрическую прогрессию. Найти углы, составляющие прогрессию. Смотреть решение →

Показать, что если плоскость, проведенная через концы трех ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, отсекает от параллелепипеда правильный тетраэдр, то параллелепипед можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился правильный шестиугольник. Смотреть решение →

Ромб с большей диагональю d и острым углом γвращается вокруг оси, проходящей вне его через вершину ромба и перпендикулярной к большей диагонали его. Определить объем тела вращения. Смотреть решение →

Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 10π. Найдите объём цилиндра, вписанного в эту же призму. Смотреть решение →

В конус, поставленный основанием вверх и представляющий в осевом сечении равносторонний треугольник, налита вода и положен шар радиуса r. Тогда оказалось, что уровень воды касается шара. Определить высоту воды в конусе после того, как шар будет из него вынут. Смотреть решение →

В шар вписаны два одинаковых конуса, оси которых совпадают, а вершины находятся в противоположных концах диаметра шара. Найти отношение объема общей части этих двух конусов к объему шара, зная, что отношение высоты конуса h к радиусу шара R равно k. Смотреть решение →

Определить угол ромба, зная его площадь Q и площадь вписанного в него круга S. Смотреть решение →

В шар радиуса R вписана прямая треугольная призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник с острым утлом α, и наибольшая ее боковая грань есть квадрат. Найти объем призмы. Смотреть решение →