Теория
Пусть из точки М, не лежащей в плоскости р, проведены прямая MN, перпендикулярная плоскости р, и некоторая прямая MK, пересекающая плоскость р, но не перпендикулярная ей (рис. 146). Длина отрезка МN называется длиной перпендикуляра к плоскости р, проходящего через точку... Читать далее →


Задачи
  • Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ψ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →
  • Найти двугранный угол φ между основанием и боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды, зная, что радиус описанного около пирамиды шара в 3 раза больше радиуса вписанного в нее шара.  Смотреть решение →
  • В правильный треугольник, сторона которого равна а, вписаны три равных круга, касательных друг к другу. Каждый из них касается двух сторон данного треугольника. Определить радиусы этих кругов. Смотреть решение →
  • Площадь треугольника ABC равна S, сторона АС = b и ∠CAB = α. Найти объем тела, полученного при вращении треугольника ABC около стороны АВ. Смотреть решение →
  • Показать, что площадь любого треугольного сечения произвольной треугольной пирамиды не превосходит площади хотя бы одной из ее граней. Смотреть решение →
  • Центры трех сфер, радиусы которых равны 3, 4 и 6, расположены в вершинах правильного треугольника со стороной 11. Сколько существует плоскостей, касающихся одновременно всех трех сфер? Смотреть решение →
  • Доказать, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения одинаково удалены от ребра. Смотреть решение →
  • Вычислить сумму \( \frac{cos\frac{\pi}{4}}{2}+\frac{cos\frac{2\pi}{4}}{2^2}+...+\frac{cos\frac{n\pi}{4}}{2^n} \)

    Указание. Применить формулу Муавра. Смотреть решение →

  • В правильной четырехугольной усеченной пирамиде с боковыми ребрами AA1, ВВ1, СС1, DD1 сторона верхнего основания A1B1C1D1 равна 1, а сторона нижнего основания равна 7. Плоскость, проходящая через ребро В1С1 перпендикулярно к плоскости AD1C, делит пирамиду на две части равного объема. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →
  • Выразить sin 5х через sin х и с помощью полученной формулы вычислить без таблиц sin 36° Смотреть решение →