Теория
Поставим задачу определить, в каком случае прямая может считаться перпендикулярной к плоскости. Докажем предварительно следующее предложение. Теорема. Если прямая (АА1, черт. 15), пересекающаяся с плоскостью (МN), перпендикулярна к каким-нибудь двум прямым (ОВ и ОС), проведенным на этой плоскости через точку... Читать далее →


Задачи
  • В выпуклом четырехугольнике ABCD точки E, F, H, G являются серединами сторон AB, BC, CD, DA соответственно и O - точка пересечения отрезков EH и FG. Известно, что EH = a, FG = b, \(\angle FOH=\frac{\pi}{3}\) Найти длины диагоналей четырехугольника. Смотреть решение →
  • В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Определить площадь полученного сечения и острый угол его, если сторона основания призмы равна b. Смотреть решение →
  • Найти геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных прямых m и l равна длине a данного отрезка. Разобрать случаи пересекающихся и параллельных прямых. Смотреть решение →
  • Дан куб ABCDA1B1C1D1; через ребро АА1 проведена плоскость, образующая равные углы с прямыми BC и B1D. Найти эти углы. Смотреть решение →
  • Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равно l , а двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями равен β. Смотреть решение →
  • Прямая пересекает параллельные стороны квадрата; вторая прямая, перпендикулярная первой, пересекает две другие стороны квадрата. Доказать, что отрезки этих прямых, ограниченные точками пересечения со сторонами квадрата, равны между собой. Смотреть решение →
  • Вычислить sin (2 arctg1/5 - arctg 5/12) Смотреть решение →
  • В сектор радиуса R с центральным углом αвписан круг. Определить его радиус. Смотреть решение →
  • Доказать, что если P, Q, R являются, соответственно, точками пересечения сторон BC, CA, AB (или их продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то

    \(\frac{PB \cdot QC \cdot RA}{PC \cdot QA \cdot RB} = 1\)

     Смотреть решение →
  • Доказать, что если окружность касается изнутри трех сторон четырехугольника, четвертая сторона которого не пересекает окружности, то сумма четвертой и противоположной сторон меньше суммы двух других сторон четырехугольника.  Смотреть решение →