Теория
Площадь боковой поверхности для цилиндра и конуса можно определить с помощью площади развертки. Однако не для любой поверхности такой способ пригоден. Например, нельзя «развернуть» на плоскость сферу. Определим в общем случае площадь поверхности вращения и приведем формулу для ее вычисления. Пусть... Читать далее →


Задачи
  • Расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 17 см и 10 см, равно 21 cм. Определить расстояние центров от точки, в которой прямая центров пересекается с общей касательной окружностей.  Смотреть решение →
  • На плоскости лежат четыре равных шара радиуса R, причем три из них касаются попарно друг друга, а четвертый касается двух из этих трех. На эти шары сверху положены два равных шара меньшего радиуса, касающихся друг друга, причем каждый из них касается трех больших шаров. Найти отношение радиусов большого и малого шаров.  Смотреть решение →
  • В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и углом при основании, равным α. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью, и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Определить боковую поверхность призмы и объем отсеченной четырехугольной пирамиды. Смотреть решение →
  • Доказать, что если точка перемещается в плоскости основания правильной пирамиды, оставаясь внутри этого основания, то сумма расстояний этой точки от боковых граней постоянна. Смотреть решение →
  • Конус и цилиндр имеют общее основание, а вершина конуса находится в центре другого основания цилиндра. Чему равен угол между осью конуса и его образующей, если известно, что полная поверхность цилиндра относится к полной поверхности конуса как 7:4. Смотреть решение →
  • На сторонах треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABC1, BCA1, CAB1, не перекрывающиеся с \(\Delta\)ABC. Доказать, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.  Смотреть решение →
  • В правильной треугольной призме две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Угол между полученными линиями, обращенный отверстием к плоскости основания, равен α. Сторона основания равна b. Определить объем призмы. Смотреть решение →
  • Через произвольную точку О, взятую внутри треугольника ABC, проведены прямые DE, FK, MN, параллельные, соответственно, AB, АС, BC, причем F и M лежат на AB, E и К - на BC, N и D - на АС, Доказать, что

    \(\frac{AF}{AB} + \frac{BE}{BC} + \frac{CN}{CA} = 1\)

     Смотреть решение →
  • Через середину С произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (К и M находятся по одну сторону от AB), Q — точка пересечения AB и KN, P — точка пересечения AB и ML. Доказать, что QC = CP.  Смотреть решение →
  • В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что его четыре вершины находятся на боковых ребрах пирамиды, а остальные четыре — в плоскости ее основания. Определить ребро куба, если высота пирамиды равна H, а боковое ребро равно l. Смотреть решение →