1. Определение параллелограмма. Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD; ЕF || МN и ЕМ || FN. Четырёхугольник,... Читать далее →

Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, в которой параллельные стороны равны а и b ( а > b), а неравные отрезки диагоналей образуют угол φ. Найти объем пирамиды, зная, что высота пирамиды, опущенная из вершины, проходит через точку пересечения диагоналей основания, а двугранные углы, прилежащие к параллельным сторонам основания, относятся как 2:1.  Смотреть решение →

Точка D - середина ребра А₁С₁ правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ Правильная треугольная пирамида SMNP расположена так, что плоскость ее основания MNP совпадает с плоскостью АВС, вершина М лежит на продолжении АС, причем |СМ| = 1/2|АС|, ребро SN проходит через точку D, а ребро SP пересекает отрезок ВВ₁. В каком отношении отрезок ВВ₁ делится точкой пересечения? Смотреть решение →

Расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 17 см и 10 см, равно 21 cм. Определить расстояние центров от точки, в которой прямая центров пересекается с общей касательной окружностей.  Смотреть решение →

Объем правильной треугольной призмы равен V, угол между диагоналями двух граней, проведенными из одной и той же вершины, равен α. Найти сторону основания призмы. Смотреть решение →

Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом ψ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Доказать, что в любом остроугольном треугольнике k_a + k_b + k_c = r + R, где k_a, k_b, k_c - перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей.

Указание. Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника.  Смотреть решение →

Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других. Смотреть решение →

В параллелепипеде все его грани — равные ромбы со сторонами а и острыми углами α. Определить объем этого параллелепипеда. Смотреть решение →

Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат. Смотреть решение →

Найти высоту правильной четырехугольной пирамиды, если известно, что объем шара, описанного около пирамиды, равен V, а перпендикуляр, опущенный из центра шара на ее боковую грань, образует с высотой пирамиды угол α. Смотреть решение →