Докажем следующие две формулы: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1) cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2) Косинус суммы (разности) двух... Читать далее →

Круга радиуса r касаются внешним образом три одинаковых окружности, касающиеся, кроме того, попарно между собой. Найти площади трех криволинейных треугольников, образованных указанными окружностями. Смотреть решение →

Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Объём цилиндра равен 16π, высота цилиндра равна 4. Найдите объём призмы. Смотреть решение →

Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит от концов боковой стороны на 2 см и 4 см. Найти площадь трапеции. Смотреть решение →

Доказать, что если окружность касается изнутри трех сторон четырехугольника и пересекает четвертую сторону, то сумма этой последней и противоположной стороны больше суммы двух других сторон четырехугольника.  Смотреть решение →

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, у которого сумма катета и гипотенузы равна m и угол между ними равен α. Через другой катет и вершину противоположного трехгранного угла призмы проведена плоскость, образующая с основанием угол β. Определить объемы частей, на которые призма делится плоскостью сечения. Смотреть решение →

Через вершину конуса проведена плоскость под углом α к основанию конуса. Эта плоскость пересекает основание по хорде АВ длины a , стягивающей дугу основания конуса, которой соответствует центральный угол β. Найти объем конуса. Смотреть решение →

Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d, образует с боковой гранью угол β= 90°— α. Плоскость, проведенная через эту диагональ и боковое ребро, пересекающееся с ней, образует с той же боковой гранью угол α(доказать, что α > 45°). Определить объем параллелепипеда. Смотреть решение →

В правильную n-угольную пирамиду со стороной основания а и боковым ребром b вписан шар. Найти его радиус. Смотреть решение →

Доказать, что для объема произвольного тетраэдра V справедлива формула \(V = \frac{1}{6}abd sin\phi\), где а и b — два противоположных ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, \(\phi\) — угол между ними. Смотреть решение →

В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине В равен 20°. На боковых сторонах AB и BC взяты, соответственно, точки Q и P так, что ∠ACQ = 60°, a ∠CAP = 50°. Доказать, что ∠APQ = 80°.  Смотреть решение →