Теорема 1. Около всякого треугольника можно описать окружность. Описать окружность около треугольника — это значит построить такую окружность, которая проходила бы через его вершины, т. е. через три точки, не лежащие на одной прямой. При решении задачи: «Через три точки, не лежащие... Читать далее →

Доказать, что в любом остроугольном треугольнике k_a + k_b + k_c = r + R, где k_a, k_b, k_c - перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей.

Указание. Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника.  Смотреть решение →

Доказать, что при соединении трех вершин правильного тетраэдра с серединой высоты, опущенной из четвертой вершины, получаются три попарно перпендикулярные прямые. Смотреть решение →

Найти геометрическое место центров сечений шара плоскостями, проходящими через данную точку С. Разобрать случаи, когда данная точка находится вне шара, на поверхности шара или внутри шара. Смотреть решение →

Решить уравнение cos 2х = cos 6x Смотреть решение →

Даны два шара О и О₁ касающиеся извне, и описанный около них конус. Вычислить боковую поверхность усеченного конуса, основаниями которого служат окружности прикосновения шаров к поверхности конуса, если радиусы шаров равны R и R₁ Смотреть решение →

В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что его плоская грань параллельна основанию пирамиды, а шаровая поверхность касается его. Определить полную поверхность пирамиды, если боковые ее грани образуют с основанием угол αи радиус шара равен r. Смотреть решение →

Окружность радиуса, равного высоте некоторого равнобедренного треугольника, катится по основанию этого треугольника. Доказать, что величина дуги, отсекаемой на окружности боковыми сторонами треугольника, остается при этом постоянной. Будет ли это предложение верно для неравнобедренного треугольника?  Смотреть решение →

В треугольной пирамиде SABC с основанием АВС и равными боковыми ребрами сумма двугранных углов с ребрами SA и SC равна 180°. Известно, что |АВ| = a, |ВС| = b. Найти длину бокового ребра. Смотреть решение →

Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Грани правильной усеченной треугольной пирамиды касаются шара. Определить отношение поверхности шара к полной поверхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом α. Смотреть решение →