1. Объём прямой треугольной призмы.Пусть требуется найти объём прямой треугольной призмы, площадь основания которой равна S, а высота равна h = AA’ = BB’ = CC’ (рис. 306). Начертим отдельно основание призмы, т. е. треугольник АBС (рис. 307, а), и достроим... Читать далее →

Шар вписан в прямую призму, в основании которой лежит прямоугольный треугольник. В этом треугольнике перпендикуляр длины h, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, составляет с одним из катетов угол α. Найти объем призмы. Смотреть решение →

В основании прямой призмы лежит трапеция, вписанная в полукруг радиуса R так, что большее основание ее совпадает с диаметром, а меньшее стягивает дугу, равную 2α. Определить объем призмы, если диагональ грани, проходящей через боковую сторону основания, наклонена к основанию под углом α. Смотреть решение →

В основании треугольной пирамиды SABC лежит равнобедренный прямоугольный треугольник \(\Delta АВС\) (∠А = 90°). Углы ∠SAB, ∠SCA, ∠SAC, ∠SBA (в указанном порядке) составляют арифметическую прогрессию, разность которой отлична от нуля. Площади граней SAB, АВС и SAC составляют геометрическую прогрессию. Найти углы, составляющие прогрессию. Смотреть решение →

Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А₁, а вершина В — в В₁. Доказать, что в треугольнике OAB₁ медиана стороны AB₁ является высотой для \(\Delta\)OA₁В (аналогично медиана стороны А₁В в \(\Delta\)OA₁В является высотой для \(\Delta\)OAB₁).  Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом αпри основании. Каждый из двугранных углов при основании равен φ. Расстояние от центра круга, вписанного в основание пирамиды, до середины высоты боковой грани равно d. Определить полную поверхность пирамиды. Смотреть решение →

В шар вписан правильный тетраэдр, затем в тетраэдр снова вписан шар. Найти отношение поверхностей двух шаров. Смотреть решение →

Длина ребра куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равна а. Точки Р, К, L - середины ребер AA₁, A₁D₁, В₁С₁ соответственно, точка Q - центр грани CC₁D₁D. Отрезок MN с концами на прямых AD и KL пересекает прямую PQ и перпендикулярен ей. Найти длину этого отрезка. Смотреть решение →

Доказать, что сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон с удвоенным произведением оснований.  Смотреть решение →

В шар радиуса R вписан усеченный конус. Основания усеченного конуса отсекают от шара два сегмента с дугами в осевом сечении, соответственно равными α и β. Найти боковую поверхность усеченного конуса. Смотреть решение →

АВСD – квадрат, точка М на стороне СD, АК – биссектриса угла ВАМ (К на ВС). Доказать, что АМ = ВК + DM Смотреть решение →