Доказать, что если точка перемещается в плоскости основания правильной пирамиды, оставаясь внутри этого основания, то сумма расстояний этой точки от боковых граней постоянна.

Пусть число боковых граней пирамиды равно п. Соединим произвольную точку О, взятую в плоскости ее основания, со всеми вершинами и рассмотрим п треугольных пирамид с общей вершиной в точке О. Очевидно, что объем V данной пирамиды равен сумме объемов получившихся треугольных пирамид. Имеем:

V = ¹/₃S ( r₁ + r₂ + ...+ r_n ).

где r₁ , r₂ , ..., r_n - расстояния от точки О до боковых граней, а S - площадь боковой грани.

Следовательно, r₁ + r₂ + ...+ r_n = ^3V/_S есть величина постоянная, не зависящая от положения точки О в плоскости основания, что и требовалось доказать.