Грани правильной усеченной треугольной пирамиды касаются шара. Определить отношение поверхности шара к полной поверхности пирамиды, если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углом α.

Плоскость, делящая пополам двугранный угол при ребре A₁A₂ (рис.) усеченной пирамиды, проходит через высоту O₁O₂ и перпендикулярна к грани В₁С₁С₂В₂ (доказать!).

Аналогично для двух других боковых ребер. Поэтому центр шара, касающегося граней пирамиды, лежит на высоте (а именно, на середине высоты, так как шар касается и оснований), а точка К касания шара с гранью В₁С₁С₂В₂ лежит на апофеме D₁D₂ этой грани. Аналогично для других боковых граней. Имеем

(a₁ = B₁C₁ и а₂ = В₂С₂ - стороны оснований и l =D₁D₂- апофема боковой грани). Если r₁ = O₁D₁ и r₂=О₂D₂ - радиусы кругов, вписанных в основания, то a₁ = 2r₁√3 и a₂ = 2r₂√3 . Поэтому

S_п. = 3 √3 (r₁² + r₂²) + 3 √3 (r₁ + r₂) l

Как в задаче 555, найдем, что r₁ + r₂ = l и r₁² + r₂² = l² - 2r².

Тогда получим