Каноническое и параметрическое уравнения прямой

Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор

а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M₀ , а М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow{M_0 M}\) коллинеарен вектору а, т. е.

\(\overrightarrow{M_0 M}\) = ta, t \( \in \) R. (1)

Если точки М и M₀ заданы своими радиус-векторами r и r₀ (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow{M_0 M}\) = r - r₀, и уравнение (1) принимает вид

r = r₀ + ta, t \( \in \) R. (2)

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром.

Пусть точка M₀ прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:

M₀(х₀; у₀, z₀), а = (а₁ ; а₂; а₃).

Тогда, если (х; у; z) - координаты произвольной точки М прямой l, то

\(\overrightarrow{M_0 M} \) = (х - х₀; у - у₀ ; z - z₀)

и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:

х - х₀ = tа₁, у - у₀ = tа₂, z - z₀ = tа₃

или

$$ \begin{cases} x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end{cases} (3)$$

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M₀(-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).

В данном случае х₀ = -3, у₀ = 2, z₀ = 4; а₁ = 2; а₂ = -5; а₃ = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой

$$ \begin{cases} x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end{cases} $$

Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.

Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда

$$ t=\frac{x-x_0}{a_1},\;\;t=\frac{y-y_0}{a_2},\;\;t=\frac{z-z_0}{a_3} $$

и, следовательно,

$$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} \;\; (4)$$

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.

Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а, например а₁ равна нулю, то, исключив параметр t, снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z:

\(x=x_0, \;\; \frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)

\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M₀(х₀; у₀, z₀) параллельно координатной плоскости yOz, так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а₂; а₃).

Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а, например а₁ и а₂ равны нулю, то эти уравнения принимают вид

х = х₀, y = у₀, z = z₀ + ta₃, t \( \in \) R.

Это уравнения прямой, проходящей через точку M₀(х₀; у₀; z₀) параллельно оси Oz. Для такой прямой х = х₀, y = у₀, a z - любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)

\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{0}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а₁ , а₂ , а₃ не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.

Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M₀(- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:

\(\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-7}{3}\)

Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M₁(х₁; у₁; z₁) и

M₂(х₂; у₂; z₂). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х₂ - х₁; у₂ - у₁; z₂ - z₁), а за точку М₀, через которую проходит прямая, например, точку M₁. Тогда уравнения (4) запишутся так:

\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}=\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{z-z_1}{z_2 - z_1}\) (5)

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M₁(х₁; у₁; z₁) и

M₂(х₂; у₂ ; z₂).

Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(-4; 1; -3) и M₂(-5; 0; 3).

В данном случае х₁ = -4, у₁ = 1, z₁= -3, х₂ = -5, у₂ = 0, z₂ = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим

\(\frac{x+4}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+3}{6}\)

Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(3; -2; 1) и

M₂ (5; -2; ¹/₂).

После подстановки координат точек M₁ и M₂ в уравнения (5) получим

\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}\)