Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть дана некоторая точка М0 и вектор n. Проведем через точку М0 прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).

Пусть M - произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор \(\overrightarrow{M_{0}M}\) перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n и \(\overrightarrow{M_{0}M}\) равнялось нулю:

n • \(\overrightarrow{M_{0}M}\) = 0. (1)

Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки M0 и M имеют координаты (x0 ; у0 ) и (x; у).

Тогда \(\overrightarrow{M_{0}M}\) = (x - x0; у - у0). Обозначим координаты нормального вектора n через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

А(x - х0) + В(у - у0) = 0. (2)

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М0 (x0; у0) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).



Задача 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5) (рис.83).

Пользуясь формулой (2), находим уравнение данной прямой:

- 1 • (x-2) + 5 • (у + 3) = 0

или, окончательно, x - 5у - 17 = 0.



Задача 2. Даны точки M1(2; -1) и M2(4; 5). Написать уравнение прямой, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\).

Нормальный вектор искомой прямой n = \(\overrightarrow{M_{1}M_{2}}\) имеет координаты (2; 6) (рис. 84).

Следовательно, по формуле (2) получим уравнение

2(x-2) + 6(y+1) = 0

или х + 3y + 1 = 0.



Задача 3. В треугольнике с вершинами в точках M1(-5; 2), M2(5; 6) и M3(1; -2) проведена медиана M1А1. Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку А1 перпендикулярно медиане M1A1 (рис. 85).

За нормальный вектор искомой прямой можно принять вектор n = \(\overrightarrow{M_{1}A_{1}}\). Определим его координаты. Точка A1 - середина отрезка M2M3, поэтому, если (x1; y1) - ее координаты, то \( x_1 = \frac{5+1}{2}=3, \;\;а \;\; y_1=\frac{6-2}{2}=2 \).

Тогда нормальный вектор n = \(\overrightarrow{M_{1}A_{1}}\) имеет координаты (8; 0). Следовательно, искомое уравнение прямой имеет вид

8(x-3) + 0 (y-2) = 0 или x = 3.



Задача 4. Дан треугольник с вершинами в точках А(-3; -1), В(2; 7) и С(5; 4). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярно стороне AB (рис. 86).

За нормальный вектор искомой прямой можно взять вектор n = \(\overrightarrow{AB}\).

Так как n = (2-(-3); 7 - (-1)) = (5; 8), то, подставляя координаты точки С и координаты вектора n в формулу (2), получим

5(x-5) + 8(y -4) = 0,

или, окончательно, 5х + 8у - 57 = 0.



Другие материалы по теме: Отрезки. Прямые

  • Сравнение отрезков. Действия над отрезками.
  • Свойства касательной
  • Перпендикуляр и наклонная к прямой
  • Признаки параллельности прямых
  • Скрещивающиеся прямые
  • Взаимное расположение прямых в пространстве
  • Угол между прямыми в пространстве
  • Теорема о трех перпендикулярах. Задачи.
  • Каноническое и параметрическое уравнения прямой
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом
  • Расстояние от точки до прямой
  • Общее уравнение прямой на плоскости
  • Ортогональные проекции прямых и отрезков
  • Нормированное уравнение прямой