Теория
Теорема 1. Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле S = 4πR2 (1) Сфера радиуса R может быть получена вращением вокруг оси Ох полуокружности, заданной уравнением $$ y=\sqrt{R^2 - x^2}, \;\; x \in [- R; R] $$ Тогда по формуле для площади поверхности вращения... Читать далее →


Задачи
  • На высоте конуса, равной Н, как на диаметре, описан шар. Определить объем части шара, лежащей вне конуса, если угол между образующей и высотой равен αСмотреть решение →
  • Даны отрезок АВ и на нем точка С. Каждая пара равных окружностей, одна из которых проходит через точки А и С, а другая - через точки С иВ, имеет, кроме С, еще одну общую точку D. Найти геометрическое место точек D. Смотреть решение →
  • Разделить отрезок в данном отношении. Пусть требуется разделить отрезок АВ (рис.) на две части так, чтобы они относились, как 4 и 5. Смотреть решение →
  • Вычислите объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а апофема пирамиды равна √15. Смотреть решение →
  • Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна H, боковое ребро и диагональ пирамиды наклонены к плоскости ее основания под углами αи β. Найти ее боковую поверхность. Смотреть решение →
  • В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диагоналей нижнего основания соединена с серединой одного из боковых ребер прямой, длина которой равна m. Она образует с основанием угол α и с одной из боковых граней угол β = 2α. Приняв другую смежную боковую грань за основание параллелепипеда, найти его боковую поверхность и объем. (Доказать, что α < 30°.) Смотреть решение →
  • Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит равнобочная трапеция ABCD, в которой AD параллельна ВС, |AD|/|ВС| = n, n > 1. Через ребра AA1 и BC проведены плоскости, параллельные диагонали B1D; через ребра DD1 и B1С1 проведены плоскости, параллельные диагонали А1С. Определить отношение объема треугольной пирамиды, ограниченной этими четырьмя плоскостями, к объему призмы. Смотреть решение →
  • Основанием пирамиды служит трапеция, в которой боковые стороны и меньшее основание равны между собой, большее основание равно а и тупой угол трапеции равен α. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол β. Определить объем пирамиды. Смотреть решение →
  • Доказать, что для объема произвольного тетраэдра V справедлива формула \(V = \frac{1}{6}abd sin\phi\), где а и b — два противоположных ребра тетраэдра, d — расстояние между ними, \(\phi\) — угол между ними. Смотреть решение →
  • В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной a. Оба угла между противоположными боковыми гранями прямые. Двугранный угол при ребре SA равен α. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →