В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и углом при основании, равным α. Через основание треугольника, являющегося верхней гранью, и противоположную вершину нижнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Определить боковую поверхность призмы и объем отсеченной четырехугольной пирамиды.

Так как плоскость основания ABC (рис.) проходит через прямую АС, а плоскость сечения А₁ВС₁ - через прямую A₁C₁, параллельную АС, то ребро MN двугранного угла β параллельно прямым АС и A₁C_1.

Поэтому для построения линейного угла проводим BD⊥AC и BD₁⊥A₁C₁ (точки D и D₁ будут серединами АС и A₁C₁). Имеем

S_бок. = (2AB + АС) • DD₁ = (2AB + АС) • BD • tgβ = 2a²(1 + cos S) sin α tg β.

Объем V₁ четырехугольной пирамиды BACC₁A₁ равен ²/₃ объема V призмы (см. задачу 481) и, следовательно,

V₁ = ²/₃ S• DD₁

где