В прямоугольном параллелепипеде проведена плоскость через диагональ основания и диагональ большей боковой грани, выходящих из одной вершины. Угол между этими диагоналями равен β. Определить боковую поверхность параллелепипеда, площадь сечения и угол наклона сечения к плоскости основания, если известно, что радиус окружности, описанной около основания параллелепипеда, равен R и меньший угол между диагоналями основания равен 2α.
Основание ABCD - прямоугольник (рис.).
Для построения линейного угла двугранного угла D1ACD проводим через ребро DD1 плоскость, перпендикулярную к АС; в пересечении с гранями двугранного угла получим линейный угол ∠ D1ED = φ
Имеем
Обозначим
AB = DC= a,
BC = AD = b (a > b), DD1= H, D1E = h, DE = h1
В равнобедренном треугольнике АОВ сумма внутренних углов при основании АВ равна внешнему углу 2α, следовательно, ∠ ВАС = α. Из \(\Delta\)ABC находим
a = 2R cos α; b = 2R sin α.
Из \(\Delta\)DEC, где ∠ ACD = α, находим
h1 = a sin α = 2R cos α sin α и ЕС = а cos α = 2R cos2 α.
Из \(\Delta\)D1EC находим
h = EC•tg β = 2R cos2 α tg β.
Из \(\Delta\)D1DE находим
H = √D1E2 - DE2 = √h2 - h12 = √4R2cos4 α tg2 β - 4R2 sin2α cos2 α =
= 2R cos2 α √tg2 β - tg2α
Выражение tg2 β - tg2α преобразуем, как в задаче 467.