Доказать, что если tg α = 1/7, sin β = 1/√10, то α + 2β = 45° (α и β- углы первой четверти).
Покажем, что tg (α + 2β ) = l. Для нахождения tg (α + 2β ) применим формулу
\( tg(\alpha+2\beta)=\frac{sin2\beta}{cos2\beta}=\frac{2sibn\beta cos\beta}{cos2\beta} \) (1)
Предварительно вычислим tg 2β по формуле
$$ tg2\beta=\frac{sin2\beta}{cos2\beta}=\frac{2sin\beta\cos\beta}{cos2\beta} $$Нужно найти cos β и cos 2β. Но cos β = + √1 - sin2 β = 3/√10
(так как β - угол первой четверти), а cos 2β = cos2β - sin2 β = 4/5.
Следовательно, tg 2β = 3/4. Подставив найденное значение tg 2β в (1), получим
tg (α + 2β ) = l
Докажем теперь, что α + 2β = π/4.
Так как \( tg\alpha=\frac{1}{7}, \;\; tg\beta=\frac{sin\beta}{cos\beta}=\frac{1}{3} \) и, кроме того, по условию задачи α и β - углы первой четверти, то 0 < α < π/4 и 0 < β < < π/4.
Отсюда находим, что 0 < α + 2β < 3/4 π. Но единственный угол, заключенный между 0 и 3/4 π, тангенс которого равен 1, есть угол π/4. Итак, α + 2β = π/4.
Похожие примеры: