Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две различные прямые могут лежать или не лежать в одной плоскости. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пусть точки А, В, С не лежат на одной прямой. Проведем через них плоскость р и выберем некоторую точку S, не принадлежащую плоскости р (рис. 130).

Тогда прямые АВ и ВС лежат в одной плоскости, именно в плоскости р, прямые AS и СВ не лежат в одной плоскости. Действительно, если бы они лежали в одной плоскости, то и точки А, В, С, S лежали бы в этой плоскости, что невозможно, так как S не лежит в плоскости, проходящей через точки А, В, С.

Две различные прямые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, называются параллельными. Совпадающие прямые также называются параллельными. Если прямые l1 и l2 параллельные, то пишут l1 || l2.

Таким образом, l1 || l2, если, во-первых, существует плоскость р такая, что

1
1 \( \subset \) р и l2 \( \subset \) р и, во-вторых, или l1 \( \cap \) l2 = \(\varnothing \) или l1 = l2.

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися. Очевидно, скрещивающиеся прямые не пересекаются и не являются параллельными.

Докажем одно важное свойство параллельных прямых, которое называется транзитивностью параллельности.

Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.

Пусть l1 || l2 и l2 || l3. Нужно доказать, что l1 || l3

Если прямые l1, l2, l3 лежат в одной плоскости, то это утверждение доказано в планиметрии. Будем предполагать, что прямые l1, l2, l3 не лежат в одной плоскости.

Через прямые l1 и l2 проведем плоскость р1, а через l2 и l3 - плоскость р2 (рис. 131).

Заметим, что прямая l3 содержит хотя бы одну точку М, не принадлежащую плоскости р1.

Через прямую и точку М проведем плоскость р3, которая пересечется с плоскостью р2 по некоторой прямой l. Докажем, что l совпадает с l3. Доказывать будем «методом от противного».

Предположим, что прямая l не совпадает с прямой l3. Тогда l пересекает прямую l2 в некоторой точке A. Отсюда следует, что плоскость р3 проходит через точку А \( \in \) р1 и прямую l1 \( \subset \)р1 и, следовательно, совпадает с плоскостью р1. Этот вывод противоречит тому, что точка М \( \in \) р3 не принадлежит плоскости р1.

Следовательно, наше предположение неверное, и поэтому l = l3.

Таким образом, доказано, что прямые l1 и l3 лежат в одной плоскости р3.


Докажем, что прямые l1 и l3 не пересекаются.

Действительно, если бы l1 и l3 пересекались, например, в точке В, то плоскость р2 проходила бы через прямую l2 и через точку В \( \in \) l1 и, следовательно, совпадала бы с р1, что невозможно.

Задача. Доказать, что углы с сонаправленными сторонами имеют равные величины.

Пусть углы MAN и M1A1N1 имеют сонаправленные стороны: луч AM сонаправлен лучу А1М1, а луч AN сонаправлен лучу A1N1 (рис. 132).

На лучах AM и А1М1 отложим равные по длине отрезки АВ и А1В1. Тогда

[BB1] || [AA1] и |BB1| = |AA1|

как противоположные стороны параллелограмма.

Аналогично, на лучах AN и A1N1 отложим равные по длине отрезки АС и А1С1 . Тогда

[CC1] || [AA1] и |CC1| = |AA1|

Из транзитивности параллельности следует, что [BB1] || [CC1]. А так как |BB1| = |CC1| , то BB1C1C - параллелограмм, и поэтому |ВС| = |B1C1|.

Следовательно, \(\Delta ABC \cong \Delta\)А1В1С1 и \( \widehat{BAC}=\widehat{B_{1}A_{1}C_{1}} \).



Другие материалы по теме: Отрезки. Прямые

  • Сравнение отрезков. Действия над отрезками.
  • Свойства касательной
  • Перпендикуляр и наклонная к прямой
  • Признаки параллельности прямых
  • Скрещивающиеся прямые
  • Угол между прямыми в пространстве
  • Теорема о трех перпендикулярах. Задачи.
  • Каноническое и параметрическое уравнения прямой
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом