Общее уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть дана некоторая точка M0 и вектор n. Проведем через точку M0 прямую l перпендикулярно вектору n (рис. 82).

Пусть M - произвольная точка. Точка M лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор \(\overrightarrow{M_{0}M}\) перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов n и \(\overrightarrow{M_{0}M}\) равнялось нулю:

n • \(\overrightarrow{M_{0}M}\) = 0. (1)

Чтобы выразить последнее равенство в координатах, введем прямоугольную декартову систему координат. Пусть точки М0 и М имеют координаты (х0 ; у0 ) и (х; у).

Тогда \(\overrightarrow{M_{0}M}\) = (x - x0; у - у0). Обозначим координаты нормального вектора n через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

А(х - x0) + В(у - у0) = 0. (2)

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М0(х0; у0) перпендикулярно данному вектору n = (А; В).




Общее уравнение прямой

Пусть дана произвольная прямая. Выберем на ней некоторую точку М0(х0; у0), и пусть n = (А; В) - произвольный нормальный вектор этой прямой. Тогда (см. § 29) уравнением этой прямой будет уравнение

А(х - х0) + В(у - у0) = 0.

Запишем его так:

Ах - Ах0 + Bу - Bу0 = 0.

Обозначив число - (Ах0 + Ву0) через С, получим

Ах + Bу + С = 0. (1)

Таким образом, всякая прямая плоскости определяется уравнением (1), т. е. линейным уравнением с двумя переменными.

Докажем теперь, что всякое линейное уравнение является уравнением прямой.

В самом деле, в уравнении (1) по крайней мере один из коэффициентов А или В отличен от нуля, иначе это уравнение не будет линейным. Пусть, например, В =/= 0, тогда уравнение (1) можно записать в виде

A(х - 0) + B (y + C/B) = 0. (2)

Согласно уравнению прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору, уравнение (2), а следовательно, и уравнение (1) определяют прямую, проходящую через точку (0; -C/B) и перпендикулярную вектору n = (А; В).

Уравнение Ах + Bу + С = 0 называется общим уравнением прямой.

Отметим, что в уравнении Ах + Bу + С = 0 коэффициент А при переменной х является первой координатой нормального вектора прямой, а коэффициент В при переменной у - второй координатой нормального вектора прямой.



Другие материалы по теме: Отрезки. Прямые

  • Сравнение отрезков. Действия над отрезками.
  • Свойства касательной
  • Перпендикуляр и наклонная к прямой
  • Признаки параллельности прямых
  • Скрещивающиеся прямые
  • Взаимное расположение прямых в пространстве
  • Угол между прямыми в пространстве
  • Теорема о трех перпендикулярах. Задачи.
  • Каноническое и параметрическое уравнения прямой
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом
  • Расстояние от точки до прямой