Расстояние от точки до прямой

Пусть даны точка M1(x1; y1) и прямая l , заданная своим нормированным уравнением

х cos φ + у sin φ - р = 0.

Найдем расстояние d от точки M1 до прямой l, т.e. длину отрезка M1K, где К - проекция точки M1 на прямую l (рис.).

Пусть М0 (р cos φ; р sin φ) - точка пересечения прямой l с перпендикулярной ей прямой, проходящей через начало координат; n0 = (cos φ; sin φ) - единичный нормальный вектор прямой l.

Искомое расстояние d равно модулю проекции \(\overrightarrow{M_{0}M_{1}}\) на направление вектора \(\overrightarrow{KM_{1}}\) или, поскольку \(\overrightarrow{KM_{1}}\) и n0 коллинеарны, на направление вектора n0 . Итак,

$$ d=|пр_{n_0}\overrightarrow{M_0 M_1}| $$

Выразим проекцию вектора \(\overrightarrow{M_{0}M_{1}}\) на направление вектора n0 через скалярное произведение этих векторов. Согласно формуле для скалярного произведения 2-х векторов получим

$$ d=|пр_{n_0}\overrightarrow{M_0 M_1}| = |\overrightarrow{M_0 M_1} \cdot n_0| $$

Так как \(\overrightarrow{M_{0}M_{1}}\) = {x1 - р cos φ; у1 - р sin φ) и n0 = (cos φ; sin φ), то

d = | (x1 - р cos φ)cos φ + (у1 - р sin φ) sin φ| =

= | x1 cos φ + у1 sin φ - p(соs2φ + sin2 φ)|

и, окончательно,

d = |x1 cos φ + у1 sin φ - p|. (1)

Таким образом, расстояние от точки до прямой равно модулю числа, получающегося, в результате подстановки в левую часть нормированного уравнения прямой координат данной точки.



Другие материалы по теме: Отрезки. Прямые

  • Сравнение отрезков. Действия над отрезками.
  • Свойства касательной
  • Перпендикуляр и наклонная к прямой
  • Признаки параллельности прямых
  • Скрещивающиеся прямые
  • Взаимное расположение прямых в пространстве
  • Угол между прямыми в пространстве
  • Теорема о трех перпендикулярах. Задачи.
  • Каноническое и параметрическое уравнения прямой
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом
  • Общее уравнение прямой на плоскости