Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть на плоскости, где имеется прямоугольная декартова система координат, прямая l проходит через точку М0 параллельно направляющему вектору а (рис. 96).

Если прямая l пересекает ось Ох (в точке N), то под углом прямой l с осью Ох будем понимать угол α, на который необходимо повернуть ось Ох вокруг точки N в направлении, обратном вращению часовой стрелки, чтобы ось Ох совпала с прямой l. (Имеется в виду угол, меньший 180°.)

Этот угол называют углом наклона прямой. Если прямая l параллельна оси Ох, то угол наклона принимается равным нулю (рис. 97).

Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и обычно обозначается буквой k:

tg α = k. (1)

Если α = 0, то и k = 0; это означает, что прямая параллельна оси Ох и ее угловой коэффициент равен нулю.

Если α = 90°, то k = tg α не имеет смысла: это означает, что прямая, перпендикулярная оси Ох (т. е. параллельная оси Оу), не имеет углового коэффициента.

Угловой коэффициент прямой можно вычислить, если известны координаты двух каких-либо точек этой прямой. Пусть даны две точки прямой: M1(x1; у1) и M2(x2; у2) и пусть, например, 0 < α < 90°, а x2 > x1, у2 > у1 (рис. 98).

Тогда из прямоугольного треугольника M1РM2 находим

$$ k=tga = \frac{|M_2 P|}{|M_1 P|} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $$

Итак,

$$ k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \;\; (2)$$

Аналогично доказывается, что формула (2) верна и в случае 90° < α < 180°.

Формула (2) теряет смысл, если x2 - x1 = 0, т. е. если прямая l параллельна оси Оу. Для таких прямых угловой коэффициент не существует.

***

Задача 1. Определить угловой коэффициент примой, проходящей через точки

M1(3; -5) и М2(5; -7).

Подставляя координаты точек M1 и М2 в формулу (2), получим

\( k=\frac{-7-(-5)}{5-3} \) или k = -1



Задача 2. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M1(3; 5) и M2(3; -2).

Так как x2 - x1= 0, то равенство (2) теряет смысл. Для этой прямой угловой коэффициент не существует. Прямая M1M2 параллельна оси Оу.

Задача 3. Определить угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и точку M1(3; -5)

В этом случае точка M2 совпадает с началом координат. Применяя формулу (2), получим

$$ k=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{0-(-5)}{0-3}= -\frac{5}{3}; \;\; k= -\frac{5}{3} $$

***

Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку

M1(x1; у1). По формуле (2) угловой коэффициент прямой находится по координатам двух ее точек. В нашем случае точка M1 задана, а в качестве второй точки можно взять любую точку М(х; у) искомой прямой.

Если точка М лежит на прямой, которая проходит через точку M1 и имеет угловой коэффициент k, то в силу формулы (2) имеем

$$ \frac{y-y_1}{x-x_1}=k \;\; (3) $$

Если же точка М не лежит на прямой, то равенство (3) не выполняется. Следовательно, равенствo (3) и есть уравнение прямой, проходящей через точку M1(x1; у1) с угловым коэффициентом k; это уравнение обычно записывают в виде

y - y1 = k (x - x1). (4)

Если прямая пересекает ось Оу в некоторой точке (0; b), то уравнение (4) принимает вид

у - b = k (х- 0),

т.е.

y = kx + b. (5)

Это уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b.



Задача 4. Найти угол наклона прямой √3 х + 3у - 7 = 0.

Приведем данное уравнение к виду

$$ y= =\frac{1}{\sqrt3}x + \frac{7}{3} $$

Следовательно, k = tg α = - 1/3 , откуда α = 150°



Задача 5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Р(3; -4), с угловым коэффициентом k = 2/5

Подставив k = 2/5 , x1 = 3, y1 = - 4 в уравнение (4), получим

у - (- 4) = 2/5 (х - 3) или 2х - 5у - 26 = 0.



Задача 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку Q (-3; 4) и составляющей с положительным направлением оси Ох угол 30°.

Если α = 30°, то k = tg 30° = 3/3. Подставив в уравнение (4) значения x1, y1 и k, получим

у -4 = 3/3 (x + 3) или √3 x -3y + 12 + 3√3 = 0.



Другие материалы по теме: Отрезки. Прямые

  • Сравнение отрезков. Действия над отрезками.
  • Свойства касательной
  • Перпендикуляр и наклонная к прямой
  • Признаки параллельности прямых
  • Скрещивающиеся прямые
  • Взаимное расположение прямых в пространстве
  • Угол между прямыми в пространстве
  • Теорема о трех перпендикулярах. Задачи.
  • Каноническое и параметрическое уравнения прямой
  • Расстояние от точки до прямой
  • Общее уравнение прямой на плоскости