Все точки биссектрисы угла обладают одним общим свойством: каждая из них находится на одинаковом расстоянии от сторон этого угла. Пусть луч АО является биссектрисой угла ВАС. Возьмем какую-нибудь произвольную точку Е на биссектрисе АО и опустим из нее на стороны угла... Читать далее →

В правильную четырехугольную пирамиду вписан полушар так, что его плоская грань параллельна основанию пирамиды, а шаровая поверхность касается его. Определить полную поверхность пирамиды, если боковые ее грани образуют с основанием угол αи радиус шара равен r. Смотреть решение →

Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Доказать, что их линия центров параллельна данной прямой. Смотреть решение →

Доказать, что если отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник есть трапеция. Смотреть решение →

Доказать, что прямые, соединяющие последовательно центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма и примыкающих к нему извне, образуют также квадрат. Смотреть решение →

Шар радиуса R вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб с острым углом α. Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ. Найти объем пирамиды. Смотреть решение →

Из точки, отстоящей от центра круга на m см, проведены касательные к кругу. Расстояние между точками касания равно a см. Определить радиус круга.  Смотреть решение →

Треугольник АОВ повернут в своей плоскости вокруг вершины О на 90°, причем вершина А перешла в А₁, а вершина В — в В₁. Доказать, что в треугольнике OAB₁ медиана стороны AB₁ является высотой для \(\Delta\)OA₁В (аналогично медиана стороны А₁В в \(\Delta\)OA₁В является высотой для \(\Delta\)OAB₁).  Смотреть решение →

Окружность разделена произвольным образом на четыре части, и середины получающихся дуг соединены отрезками прямых. Показать, что среди этих отрезков два будут перпендикулярны между собой.  Смотреть решение →

Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки окружности на стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой. Смотреть решение →

Найти отношение площади треугольника ABC к площади другого треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.  Смотреть решение →