Теория
1. Углы с соответственно параллельными сторонами.Возьмём на плоскости две точки С и О и из этих точек проведём две пары лучей СА || ОМ и СВ || ОN так, чтобы углы АСВ и МОN были или оба острые (черт. 211),... Читать далее →


Задачи
  • Доказать, что если окружность касается изнутри трех сторон четырехугольника, четвертая сторона которого не пересекает окружности, то сумма четвертой и противоположной сторон меньше суммы двух других сторон четырехугольника.  Смотреть решение →
  • Из двух точек прямой проведены по две касательные к окружности. В образованные углы с вершинами в этих точках вписаны окружности равного радиуса. Доказать, что их линия центров параллельна данной прямой. Смотреть решение →
  • Даны верхнее и нижнее основания трапеции а и b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции. Смотреть решение →
  • В параллелограмме даны острый угол α и расстояния m и p от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Определить диагонали и площадь параллелограмма.  Смотреть решение →
  • Определить площадь треугольника, если две стороны соответственно равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны равна 26 см.  Смотреть решение →
  • Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
    Найти сумму векторов \( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B_{1}C_{1}}, \overrightarrow{CC_{1}}, \overrightarrow{B_{1}A_{1}}, \overrightarrow{B_{1}B} \) Смотреть решение →

  • Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, в которой параллельные стороны равны а и b ( а > b), а неравные отрезки диагоналей образуют угол φ. Найти объем пирамиды, зная, что высота пирамиды, опущенная из вершины, проходит через точку пересечения диагоналей основания, а двугранные углы, прилежащие к параллельным сторонам основания, относятся как 2:1.  Смотреть решение →
  • Пусть R - радиус шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, r- радиус шара, вписанного в эту пирамиду. Доказать, что

    R/r >2 + 1
    Указание. Выразить R/rчерез tg α/2, где α - двугранный угол между основанием и боковой гранью. Смотреть решение →

  • Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды содержит S см2, высота пирамиды Н см. Найти сторону основания пирамиды. Смотреть решение →
  • Доказать, что если две точки лежат вне окружности и прямая, их соединяющая, не пересекает окружности, то расстояние между этими двумя точками больше разности длин касательных к окружности, проведенных из данных точек, и меньше суммы их. Показать, что одно или другое из этих неравенств не будет выполнено, если прямая пересекает окружность. Смотреть решение →