Теорема. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам. Возьмём какой-нибудь треугольник AВС (рис. 208). Обозначим его внутренние углы цифрами 1, 2 и 3. Докажем, что ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Проведём через какую-нибудь вершину треугольника, например В, прямую МN параллельно... Читать далее →

В параллелограмме даны острый угол α и расстояния m и p от точки пересечения диагоналей до неравных сторон. Определить диагонали и площадь параллелограмма.  Смотреть решение →

Доказать, что угол треугольника будет острым, прямым или тупым, смотря по тому, будет ли противоположная сторона меньше, равна или больше удвоенной соответствующей медианы. Смотреть решение →

Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырех равных шаров, расположенных так, что каждый касается трех других. Смотреть решение →

Доказать, что если через точки пересечения двух окружностей провести две параллельные прямые, то наибольшие отрезки этих прямых, ограниченные окружностями, равны Смотреть решение →

На стороне АВ прямоугольника ABCD найти такую точку Е, из которой стороны AD и DC были бы видны под равными углами.
При каком соотношении между сторонами прямоугольника задача разрешима? Смотреть решение →

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной а и острым углом α. Ребро АА₁ равно b и образует с ребрами АВ и AD угол φ. Определить объем параллелепипеда. Смотреть решение →

В правильную n-угольную призму вписан шар, касающийся всех граней призмы. Вокруг призмы также описан шар. Найти отношение объемов двух шаров. Смотреть решение →

Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью, проходящей через вершину основания и середины двух боковых ребер. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания, если известно, что секущая плоскость перпендикулярна к боковой грани.  Смотреть решение →

В правильной треугольной призме две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Угол между полученными линиями, обращенный отверстием к плоскости основания, равен α. Сторона основания равна b. Определить объем призмы. Смотреть решение →

Основание треугольника делится высотою на части в 36 см и 14 см. Перпендикулярно к основанию проведена прямая, делящая площадь данного треугольника пополам. На какие части эта прямая разбила основание треугольника?  Смотреть решение →