Площадь боковой поверхности для цилиндра и конуса можно определить с помощью площади развертки. Однако не для любой поверхности такой способ пригоден. Например, нельзя «развернуть» на плоскость сферу. Определим в общем случае площадь поверхности вращения и приведем формулу для ее вычисления. Пусть... Читать далее →

От правильной четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через диагональ нижнего основания и одну из вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной поверхностью S. Найти полную поверхность призмы, зная, что угол при вершине треугольника, получающегося в сечении, равен а. Смотреть решение →

Нужно определить высоту телевизионной антенны, которая отделена от нас рекой.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. В этом треугольнике мы можем с помощью приборов измерить угол А. Положим, он равен 42° Смотреть решение →

Найти поверхность правильной n-угольной пирамиды объема V, если радиус круга, вписанного в основание, равен радиусу круга, описанного вокруг сечения, параллельного основанию и отстоящего от основания на расстоянии h.  Смотреть решение →

Внутри треугольника АВС взята точка М и построены параллелограммы АМВМ₁, ВМСВ₂, СМАМ₃. Доказать, что прямые АМ₂, ВМ₃, СМ₁ пересекаются в одной точке. Смотреть решение →

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2α, а сумма длин его высоты и образующей равна m. Найти объем и полную поверхность конуса. Смотреть решение →

Некоторая точка О плоскости соединена с вершинами параллелограмма ABCD. Доказать, что площадь треугольника АОС равна сумме или разности площадей двух смежных треугольников, образованных двумя из прямых ОА, ОВ, ОС, OD и соответствующей стороной параллелограмма. Разобрать случаи, когда точка О находится внутри и вне параллелограмма.  Смотреть решение →

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору n = (-1;5). Смотреть решение →

Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков высот, заключенных между каждой из вершин и точкой пересечения высот, представляют собой девять точек, лежащих на одной окружности. Показать, что центр этой окружности лежит на середине отрезка, соединяющего точку пересечения высот данного треугольника с центром описанного круга, а радиус равен половине радиуса описанного круга.  Смотреть решение →

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, а высота ее проходит через точку пересечения гипотенузы с биссектрисой прямого угла основания. Боковое ребро, проходящее через вершину прямого угла, наклонено к плоскости основания под углом α. Определить объем пирамиды и углы наклона боковых граней к плоскости основания, если биссектриса прямого угла основания равна m и образует с гипотенузой угол 45° + α. Смотреть решение →

Стороны основания прямоугольного параллелепипеда а и b. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол α. Определить боковую поверхность параллелепипеда. Смотреть решение →