Каждая точка А плоскости характеризуется своими координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А, выходящего из точки 0 - начала координат . Пусть А и В - произвольные точки плоскости с координатами (х1 y1) и (х2,... Читать далее →

Через вершину конуса под углом φ к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α; расстояние плоскости от центра основания равно а. Найти объем конуса. Смотреть решение →

В конус, у которого угол осевого сечения при вершине равен α , вписан шар радиуса R. Найти объем части конуса, расположенной над шаром.  Смотреть решение →

Доказать, что в любом остроугольном треугольнике k_a + k_b + k_c = r + R, где k_a, k_b, k_c - перпендикуляры, опущенные из центра описанной окружности на соответствующие стороны; r и R - радиусы вписанной и описанной окружностей.

Указание. Можно выразить левую и правую части искомого равенства через стороны и углы треугольника.  Смотреть решение →

Пирамида имеет в основании квадрат. Из двух противолежащих друг другу ребер одно перпендикулярно к плоскости основания, другое наклонено к ней под углом β и имеет длину l. Определить длины остальных боковых ребер и углы наклона их к плоскости основания пирамиды. Смотреть решение →

Найти поверхность правильной n-угольной пирамиды объема V, если радиус круга, вписанного в основание, равен радиусу круга, описанного вокруг сечения, параллельного основанию и отстоящего от основания на расстоянии h.  Смотреть решение →

На сторонах треугольника ABC построены равносторонние треугольники ABC₁, BCA₁, CAB₁, не перекрывающиеся с \(\Delta\)ABC. Доказать, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.  Смотреть решение →

Даны два равных полукруга, касающихся друг друга так, что диаметры их лежат на одной прямой. Проводим к ним общую касательную и вписываем первый круг, касающийся этой прямой и двух данных кругов; затем вписываем второй круг, касающийся первого и двух данных, затем третий круг, касающийся второго и двух данных, и т. д. до бесконечности. Пользуясь этим построением, доказать, что сумма дробей

\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} +...+ \frac{1}{n(n + 1)}\)

при безграничном возрастании n стремится к 1, т. е.

\(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} +...+ \frac{1}{n(n + 1)} = 1\)

 Смотреть решение →

В шар вписаны два одинаковых конуса, оси которых совпадают, а вершины находятся в противоположных концах диаметра шара. Найти отношение объема общей части этих двух конусов к объему шара, зная, что отношение высоты конуса h к радиусу шара R равно k. Смотреть решение →

В трехгранном угле даны три плоских угла в 45°, 60° и 45°. Определить двугранный угол, заключенный между теми двумя гранями, которые содержат плоские углы по 45°. Смотреть решение →

Доказать, что сумма квадратов расстояний какой-нибудь точки окружности до вершин правильного вписанного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.  Смотреть решение →