Центральная симметрияДве фигуры называются симметричными относительно какой-либо точки О пространства, если каждой точке А одной фигуры соответствует в другой фигуре точка А’, расположенная на прямой ОА по другую сторону от точки О, на расстоянии, равном расстоянию точки А от точки... Читать далее →

В правильную n-угольную призму вписан шар, касающийся всех граней призмы. Вокруг призмы также описан шар. Найти отношение объемов двух шаров. Смотреть решение →

На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом b построены квадраты во внешние стороны. Центры этих квадратов соединены между собою прямыми линиями. Найти площадь получившегося треугольника.  Смотреть решение →

Через вершину конуса под углом φ к основанию проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу α; расстояние плоскости от центра основания равно а. Найти объем конуса. Смотреть решение →

Из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, внешние части которых содержат по 2 м. Определить площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки пересечения секущих с окружностью, зная, что длина двух его противоположных сторон равна 6 м и 2,4 м.  Смотреть решение →

Доказать формулу \( sin x+sin2x+...+sin nx=\frac{sin\frac{nx}{2}sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}} \) Указание. Можно воспользоваться формулой Муавра

(cos x + i sin x)ⁿ = cos nx + i sin nx Смотреть решение →

В прямоугольном параллелепипеде точка пересечения диагоналей нижнего основания соединена с серединой одного из боковых ребер прямой, длина которой равна m. Она образует с основанием угол α и с одной из боковых граней угол β = 2α. Приняв другую смежную боковую грань за основание параллелепипеда, найти его боковую поверхность и объем. (Доказать, что α < 30°.) Смотреть решение →

Определить площадь треугольника, если даны а и b— длины его сторон и t — длина биссектрисы угла между этими сторонами. Смотреть решение →

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, у которого сумма катета и гипотенузы равна m и угол между ними равен α. Через другой катет и вершину противоположного трехгранного угла призмы проведена плоскость, образующая с основанием угол β. Определить объемы частей, на которые призма делится плоскостью сечения. Смотреть решение →

Три равных окружности пересекаются в одной точке. Вторая точка пересечения каких-либо двух из этих окружностей и центр третьей определяют проходящую через них прямую. Доказать, что получаемые три прямые пересекаются в одной точке. Смотреть решение →

В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Через его ребро проведена плоскость, составляющая с основанием угол β. Сторона основания равна а. Определить площадь сечения. Смотреть решение →