Дан равнобедренный треугольник с основанием 2а и высотой h. В него вписана окружность, и к ней проведена касательная, параллельная основанию. Найти радиус окружности и длину отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника.

Площадь S треугольника ABC равна произведению его периметра 2а + 2 √a²+ h²на ^r/₂ (r - радиус вписанной окружности):

S= (а + √a²+ h²)r.

С другой стороны,

S = ¹/₂ AС • BG= ah.

Приравнивая эти два выражения, находим

Отрезок DE находим из пропорции

DE : AC = BF : BG,

где

4C = 2a, BF = h -2r и BG = h.

Замечание. Величину r можно найти еще так: прямая АО eсть биссектриса угла А. Значит, отрезки GO = r и OB = h - r пропорциональны сторонам AG и АВ, т. е.