В основании призмы ABCA₁B₁C₁ лежит равнобедренный треугольник ABC (AB = AC и / BAC = 2α). Вершина А₁ верхнего основания проектируется в центр окружности радиуса R, описанной около нижнего основания. Баковое ребро AA₁образует со стороной основания АВ угол, равный 2α. Определить объем и боковую поверхность призмы.

Как в предыдущей задаче, докажем, что ребро АА₁⊥ВС (рис.), а следовательно, и ВВ₁⊥ВС и грань BB₁C₁C - прямоугольник.

∠ А₁АС = ∠ А₁АВ = 2α . (доказательство см. в задаче 477) и, следовательно, грань AA₁C₁C=AA₁B₁B. Точка Е- середина стороны АВ и EO⊥AB (точка О - центр окружности, описанной около \(\Delta\)АВС); тогда A₁E⊥AB (по теореме о трех перпендикулярах). По теореме синусов имеем

AB = 2R sin (90°- α) =2R cos α;

тогда

S_ocн. = ¹/₂ АВ² • sin 2α = 2R² cos² α sin 2α.

Из треугольника AA₁E имеем

Из \(\Delta\)AA₁O найдем

(Подкоренное выражение преобразуем, как указано в задаче 464)

Сторона BC = 2BD = 2 • АВ • sin α. Следовательно,