Конические поверхности

Объединение всех прямых, проходящих через каждую точку данной кривой и некоторую фиксированную точку пространства, не лежащую на этой кривой, называется конической поверхностью. Данная кривая называется направляющей, данная фиксированная точка - вершиной, а прямые - образующими конической поверхности (рис. 233).

Легко видеть, что конические поверхности состоят из двух полостей с общей вершиной.

Конические и цилиндрические поверхности обладают замечательным свойством: все они разворачиваются на плоскость без складок и разрывов, и, наоборот, из плоских листов материала, согнув их, можно получать поверхности конической и цилиндрической формы. Благодаря этому свойству они получили большое применение в технике.

Выведем уравнение конической поверхности. Если М - произвольная точка этой поверхности, отличная от вершины S, а N - точка пересечения образующей SM с направляющей L, то векторы \(\overrightarrow{SM}\) и \(\overrightarrow{SN}\) коллинеарны. Поэтому существует число λ такое, что

\(\overrightarrow{SM}\) = λ \(\overrightarrow{SN}\). (1)

Пусть для простоты кривая L лежит в плоскости хОу и имеет уравнение

F(x; y) = 0, (2)

а вершина S лежит на оси Oz и имеет координаты (0; 0; с), с =/= 0. Тогда’

\(\overrightarrow{SM}\) = (х; у; z - с), \(\overrightarrow{SN}\) = (ξ ; η; - с),

где (х; у; z ) - координаты точки М, а (ξ ; η ) - координаты точки N на плоскости хОу. Из векторного равенства (1) получаем следующие равенства для координат:

х = λξ, у = λη, z - с = - λс.

Отсюда находим

$$ \xi=\frac{cx}{c-z}, \;\; \eta=\frac{cy}{c-z} $$

Так как координаты ξ , η удовлетворяют уравнению (2), то координаты (х; у; z) удовлетворяют уравнению

\( F\left(\frac{cx}{c-z}, \frac{cy}{c-z} \right)=0 \) (3)

Это и есть уравнение конической поверхности с вершиной в точке S (0; 0; с), с =/= 0, и направляющей F(х; у) = 0. Таким образом, уравнение конической поверхности (3) получается из уравнения направляющей (2) заменой х на \( \frac{cx}{c-z} \) и у на \(\frac{cy}{c-z}\).

Задача. Составить уравнение конической поверхности с вершиной в точке

(0; 0; с), с > 0, и направляющей

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $$

Данная коническая поверхность имеет уравнение

$$ \frac{1}{a^2}(\frac{cx}{c-z})^2 + \frac{1}{b^2}(\frac{cy}{c-z})^2 = 1 $$

После соответствующих преобразований получаем искомое уравнение:

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{(z-c)^2}{c^2} $$