Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину l . Из трех плоских углов, образованных при вершине пирамиды этими ребрами, два равны α, а третий равен β. Найти объем пирамиды.

Высота DO проходит через центр О (рис., а) круга, описанного около треугольника ABC, где AB = AС = 2l sin α/2 и ВС = 2l sin β/2 (См.задачу 419).

рис., а

Точка О лежит на перпендикуляре KО к стороне AВ, проведенном через середину AВ. Поэтому из подобия треугольников АОК и ABL имеем пропорцию

АО : 1/2 AB= АВ : AL,

откуда

Далее из треугольника AOD находим

Подкоренное выражение можно преобразовать, как указано в задаче 464.

Другой способ. Примем за основание пирамиды грянь BDC (рис., б);

рис., б

площадь ее Socн. = 1/2 l2 sin β. Грань BDC перпендикулярна к плоскости ADL (доказать!) и, следовательно, высота пирамиды АО1 будет лежать в этой плоскости. Проводим О1Е перпендикулярно к BD. Из подобия треугольников O1DE и BDL имеем , где из \(\Delta\)ADE

ED = l cos α , BD = l и DL = l cos β/2

отсюда

Из треугольника ADO1 находим





Похожие примеры: