В основании наклонной призмы лежит прямоугольный треугольник ABC, сумма катетов которого равна m и угол при вершине А равен α. Боковая грань призмы, проходящая через катет АС, наклонена к основанию под углом β. Через гипотенузу AВ и через вершину С₁ противоположного трехгранного угла проведена плоскость. Определить объём отсеченной треугольной пирамиды, если известно, что боковые ребра ее равны между собой.

Требуется найти объем пирамиды C₁ABC (рис.).

Так как боковые ребра ее равны между собой, то они наклонены к основанию под одним и тем же углом (эта теорема обратна доказанной в задаче 425 ), и высота С₁О проходит через центр О окружности, описанной около треугольника ABC. Так как этот треугольник прямоугольный, то О лежит на середине гипотенузы АВ (см. объяснение к предыдущей задаче).

Угол ODC₁ (В -середина катета АС) измеряет наклон боковой грани АСС₁А₁ к основанию. Катеты ВС и АС находим из двух уравнений:

ВС+АС = m и ВС = АС • tg α;

получаем

Затем находим S_ocн. = ¹/₂ ВС • AС. Высоту H находим из треугольника DOC₁, где OD = ¹/₂BС (как средняя линия треугольника).