Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Вершина пирамиды удалена от плоскости ее основания на расстояние, равное 24, и проектируется на эту плоскость в точку, лежащую внутри основания. Найти ребро куба, четыре вершины которого лежат в плоскости основания данной пирамиды, а ребра, соединяющие эти вершины, параллельны соответствующим катетам треугольника, лежащего в основании пирамиды. Четыре другие вершины куба лежат на боковых гранях данной пирамиды.

Сначала изобразим то сечение A1M1B1 (рис.), где лежит «верхняя» грань куба K1L1M1N1 (это сечение есть прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине M1). Так как вершины К1L1М1N1 лежат на боковых гранях, то они находятся на сторонах треугольника A1M1B1 1 совпадает с вершиной прямого угла, прямая M1K1 изображает биссектрису прямого угла, ибо M1N1= M1L1). Теперь изображаем куб KLMNK1L1M1N1. Внутри четырехугольника K1L1M1N1берем произвольную точку О1, изображающую пересечение высоты DO с гранью K1L1M1N1 и соединяем ее с точкой О, сходственно расположенной в четырехугольнике KLMN. Проводим прямые O1A1, O1В1 , O1M1 и прямые ОА, ОВ, ОМ, соответственно им параллельные. В пересечении DA1, DB1 и DM1 соответственно с ОА, ОВ и ОМ находим точки А, В, С - вершины основания пирамиды.

Решение. По условию AС = 6; ВС = 8; DO = 24 (На рис. эти соотношения не соблюдены.).

Обозначим ребро куба через х. Тогда OO1 = х и DO1 = 24 - х. По свойству сечений, параллельных основанию пирамиды, имеем В1М1 : ВС = DO1 : DO, т. е. В1M1 : 8=
= (24 - х) : 24, откуда

Из подобия треугольников K1B1L1 и ABC имеем

K1L1 : B1L1= 6 : 8;

здесь

Следовательно, , откуда x = 3.

Ответ: 3.





Похожие примеры: