В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что вершины его лежат на апофемах пирамиды. Найти отношение объема пирамиды к объему куба, зная, что угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью равен α.

Из треугольника EOF (рис.), где OF = ^a/₂ и ∠ OEF = α, имеем Н = ^a/₂ ctg α.

Следовательно, объем пирамиды

V = ¹/₃ а²H = ¹/₆ a³ ctg α.

Выразим сторону а через ребро куба x = MM₁. Имеем

а = 2 OF = 2ОМ +2MF = KM + 2MM₁ • tg α = х√2 + 2х tg α.

Следовательно,

Здесь х³=V₁, есть объем куба.