В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α. Через его ребро проведена плоскость, составляющая с основанием угол β. Сторона основания равна а. Определить площадь сечения.

Сечение BCC₁B₁ (рис.) есть трапеция (дoказать!).

Проведем плоскость MNE (М и N - середины сторон AD и ВС). Она пересечет плоскость BCC₁B₁ по прямой NK (К - середина B₁C₁).

Имеем ∠NME = ∠MNE = α и ∠MNK = β (доказать!). Высота KN трапеции ВСС₁В₁ находится из треугольника KNM, где МN= а ∠MKN = 180°- (α + β). По теореме синусов т.е.

Теперь находим верхнее основание В₁С₁ трапеции; из подобия треугольников ADE и B₁С₁Е имеем

Отношение ^KE/_NE найдем из треугольника КNЕ, где ∠KNE = α - β, a ∠NKE = α + β (как внешний для \(\Delta\)KNM). Получаем