Площадь поверхности цилиндра и его объем




Площадь поверхности цилиндра


Площадь каждого основания цилиндра равна πr2, площадь обоих оснований составит 2πr2 (рис.).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, основание которого равно 2πr, а высота равна высоте цилиндра h, т. е. 2πrh.

Полная поверхность цилиндра составит: 2πr2 + 2πrh = 2πr (r + h).


За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь развертки его боковой поверхности.

Поэтому площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна площади соответствующего прямоугольника (рис.) и вычисляется по формуле

S б.ц. = 2πRH, (1)

где R — радиус основания, а H — высота цилиндра.

Если к площади боковой поверхности цилиндра прибавить площади двух его оснований, то получим площадь полной поверхности цилиндра

Sполн. =2πRH + 2πR2 = 2πR (H + R).



Объем прямого цилиндра


Теорема. Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту, т. е.

V = QH,

где Q — площадь основания, а Н — высота цилиндра.

Так как площадь основания цилиндра равна Q, то существуют последовательности описанных и вписанных многоугольников с площадями Qn и Q’n таких, что

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Qn = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’n = Q.

Построим последовательности призм, основаниями которых являются рассмотренные выше описанные и вписанные многоугольники, а боковые ребра параллельны образующей данного цилиндра и имеют длину H. Эти призмы являются описанными и вписанными для данного цилиндра. Их объемы находятся по формулам

Vn = QnH и V’n = Q’nH.

Следовательно,

V= \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) QnH = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’nH = QH.

Следствие.
Объем прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле

V = π R2H

где R — радиус основания, а H — высота цилиндра.

Так как основание кругового цилиндра есть круг радиуса R, то Q = π R2, и поэтому

V = QH = π R2H.