Даны три взаимно перпендикулярные прямые, расстояние между любыми двумя равно a. Найти объем параллелепипеда, диагональ которого лежит на одной прямой, а диагонали двух соседних граней на двух других прямых.
Введем прямоугольную систему координат так, чтобы первая прямая совпала с осью х, вторая - была параллельна оси y и проходила через точку (0, 0, a), а третья - параллельна оси z и проходила через точку (а, а, 0). Пусть ABCDA1B1C1D1 - параллелепипед, у которого точки А в С лежат на первой прямой и имеют координаты (x1, 0, 0), (х2, 0, 0), точки В и С1- на второй, их координаты - (0, у1, a), (0, у2, а), точки D и B1 на третьей прямой, их координаты - (a, a, z1), (a, a, z2). Из условия равенства векторов \(\vec{AD} = \vec{ВС} = \vec{В_1С_1}\) получим
$$ a-x_1=x_2= -a,\\ a= -y_1 = y_2-a,\\ z_1= -a =a-z_2,\\ \;\;\text{откуда}\;\;x_1=2a,\\ x_2=-a,\\ y_1=-a,\\ y_2=2a,\\ z_1=-a,\\ z_2=2a $$Таким образом, А (2а, 0, 0), В (0, -a, a), С (-а, 0, 0), D (а, а,-а), В1 (а, а, 2а), С1 (0,2а, a).
Можно проверить, что \(\vec{AB} = \vec{DC}\). Далее, |АС| = За, |АВ| = \(a\sqrt6\), |ВС| = \(a\sqrt3\), т. е. ΔАВС - прямоугольный, значит, площадь ABCD будет |АВ| • |ВС| = \(3a^2\sqrt2\). Уравнение плоскости ABCD есть у + z = 0, значит, расстояние от В1 до нее будет равно \(\frac{3a}{\sqrt2}\).
Ответ: 9а3.