Если два неравных и подобных треугольника имеют две равные стороны, то легко убедиться, что стороны каждого из них образуют геометрическую прогрессию, причем стороны одного из них можно обозначить через a, λa, λ²а, другого - λa, λ²а, λ³а.

Далее, если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию и две из них равны 3 и 5, то третья сторона равна √15 (в других случаях сумма двух сторон будет меньше третьей). Нетрудно доказать теперь, что в нашем тетраэдре две грани есть треугольники со сторонами 3, √15, 5, а две другие имеют стороны √15, 5, \(5\sqrt{\frac{5}{3}}\) или же \(3\sqrt{\frac{3}{5}}, 3, \sqrt{15}\) соответственно задача имеет два ответа

$$ \frac{55\sqrt6}{18}\;\;\text{и}\;\;\frac{11}{10}\sqrt{10} $$