В правильном тетраэдре ABCD с ребром а в плоскостях BCD, CD A, DAB и АВС взяты соответственно точки А1, В1, С1 и D1 так, что прямая А1В1 перпендикулярна плоскости BCD, В1С1 перпендикулярна плоскости CDA, C1D1 перпендикулярна плоскости DAB и, наконец, D1A1 перпендикулярна плоскости АВС. Найти объем тетраэдра A1B1C1D1

Опустим перпендикуляры А1М и В1М на CD, B1N и С1N на AD, С1К и D1K на АВ, D1L и A1L на СВ.

Поскольку

$$ \frac{|A_1M|}{|B_1M|}=\frac{|B_1N|}{|NC_1|}=\frac{|C_1K|}{|KD_1|}=\frac{|D_1L|}{|A_1L|}=\frac{1}{3} $$

(эти отношения равны косинусу двугранного угла при ребре тетраэдра) и |А1В1| = |В1С1| = |C1D1| = |D1A1|, то должны выполняться равенства |А1М| = |B1N| = |С1К| = |D1L| = х, |В1М| = |NC1| = |KD_1| = | A1L| = Зх (на рис. ниже изображена развертка тетраэдра). Каждое ребро CD, DA, АВ, ВС окажется разделенным на отрезки m и n так, как показано на рисунке.

Учитывая, что m + n = a, найдем

$$ x = \frac{a\sqrt3}{12},\;\;m=\frac{5a}{12},\;\;n=\frac{7a}{12} $$

после чего найдем объем тетраэдра A1B1C1D1.

Ответ: \(\frac{a^3\sqrt2}{162}\)





Похожие примеры: