Решим сначала следующую задачу. В ΔАВС на сторонах АВ и АС взяты точки L и К так, что

$$ \frac{|AL|}{|LB|}=m,\;\;\;\frac{|AK|}{|KC|}=n $$

В каком отношении прямая KL делит медиану AM?

Обозначим через N точку пересечения KL и AM, Q - точка пересечения KL и ВС, Р - точка пересечения KL и прямой, параллельной ВС, проходящей через А. Пусть |ВС| = 2а, |QC| = b, |АР| = c, n > m. Тогда из подобия соответствующих треугольников будем иметь:

$$ \frac{c}{b}=n, \;\; \frac{c}{b+2a}=m,\;\;\text{откуда}\frac{|AN|}{|NM|}=\frac{c}{b+a}=\frac{2mn}{m+n} $$

Пусть теперь m, n и p - отношения, в которых разделены плоскостью ребра АВ, АС и AD, для их определения будем иметь систему

$$ \frac{2mn}{m+n}=2, \;\;\frac{2np}{n+p}=\frac{1}{2},\;\;\frac{2pm}{p+m}=4, $$

откуда

$$ m= -\frac{4}{5},\;\; n=\frac{4}{9},\;\;p=\frac{4}{7} $$

То, что -1 < m < 0, означает, что точка L лежит на продолжении АВ за точку А, т. е. наша плоскость пересекает ребра АС, AD, ВС и BD. Далее, определив отношения, в которых разделены ребра ВС и BD (получим 5/7 и 5/9), найдем ответ: \(\frac{7123}{16901}\)