В правильной треугольной пирамиде SABC (S - вершина) точка Е - середина апофемы грани SBC, а точки F, L и М лежат на ребрах АВ, АС и SC соответственно, причем |AL| = 1/10|AC|. Известно, что EFLM - равнобедренная трапеция и длина ее основания EF равна √7. Найти объем пирамиды.
Пусть сторона основания пирамиды равна a, а боковое ребро - b. Проведем через FE плоскость, параллельную ASC, обозначим через К и N точки пересечения этой плоскости с ВС и SB. Поскольку Е - середина апофемы грапи SCB, то |AF| = |СК| = a/4, |SN| = b/4, |KE| = 2|EN|.
Проведем через L прямую, параллельную AS, обозначим через Р ее точку пересечения с SC. Будем иметь |SP| = 0,1b. Треугольники LPC и FNK подобны, их соответствующие стороны параллельны, кроме того, LM и FE также параллельны, т. е. |РМ|/|МС| = |NЕ| / |ЕK| = 1/2, следовательно, |SM| = 0,4b. Теперь найдем:
$$ |LF|^2 =\frac{19}{400}a^2,\;\;\;|ME|^2=\frac{15}{400}a^2 +\frac{1}{100}b^2 $$Из условия |LF| = |ME| получим a = b. Треугольник FNК - правильный со стороной \(\frac{3}{4}a\), \(|FE|^2 = \frac{7}{16}a^2 = 7\). Следовательно, a = b = 4.
Ответ: \(\frac{16}{3}\sqrt2\)