Рассмотрим тетраэдр с ребром 2а. Поверхность сферы, касающейся всех его ребер, разбивается поверхностью тетраэдра на 4 равных сегмента и 4 равных криволинейных треугольника, каждый из которых равен искомому треугольнику. Радиус сферы равен \(\frac{a\sqrt2}{2}\), высота каждого сегмента равна

$$ a(\frac{\sqrt2}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}) $$ следовательно, площадь искомого криволинейного треугольника равна

$$ \frac{1}{4}\begin{bmatrix}4\pi a^2(\frac{\sqrt2}{2})^2 - 4\cdot2\pi a^2\frac{\sqrt2}{2}(\frac{\sqrt2}{2} -\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}})\end{bmatrix}=\\=\frac{\pi a^2}{6}(2\sqrt3 -3) $$