Доказать, что если сумма

а₁ cos (α₁ + х) + а₂ cos (α₂ + х) + ... + а_n cos (α_n + x)

при x = 0 и x = x₁ =/= kπ (k - целое) обращается в нуль, то она равна нулю при всяком х

Так как исследуемая сумма равна нулю при х = x₁, то

а₁ cos (α₁ + х₁) + ... + а_n cos (α_n + x₁) =

= (а₁ cos α₁+ ... + а_n cos α_n) cos х₁ - (а₁ sin α₁ + ... + а_n sin α_n) sin х₁= 0. (1)

Но по условию задачи

а₁ cos (α₁ + х₁) + ... + а_n cos (α_n + x₁) = 0. (2)

Кроме того, sin х₁ =/= 0, так как х₁ =/= kπ. Из (1) и (2) получаем

а₁ sin α₁ + ... + а_n sin α_n = 0. (3)

Пусть теперь х -любое число. Тогда

а₁ cos (α₁ + х) + ... + а_n cos (α_n + x) =

= (а₁ cos α₁+ ... + а_n cos α_n) cos х - (а₁ sin α₁ + ... + а_n sin α_n) sin х = 0.

так как в силу (2) и (3) суммы, стоящие в скобках, равны нулю.