Доказать, что функция cos√x не является периодической (т. е. не существует такого постоянного числа Т =/= 0, чтобы при всех х было cos√x + T = cos√x )

Предположим противное, т. е. допустим, что существует Т =/= 0 такое, что при всех х > 0 будет

cos √x +T = cos √x (1)

(ограничение х > 0 необходимо потому, что при х < 0 радикал √x будет мнимым). Положим сначала в формуле (1) х = 0; тогда

cos √T = cos 0 =1 (2)

и, стало быть,

√T = 2kπ. (3)

Затем подставим в (1) значение х = Т. Тогда, очевидно, будем иметь согласно (1) и (2):

cos √2T = cos √T = 1,

откуда

cos √2T = 2lπ

Так как по предположению Т =/= 0, то, разделив (4) на (3), получим √2 = ^l/_k , где l и k -целые числа. Последнее, как известно, невозможно.